दो समर्थनों (supports) के बीच सैग (sag) के कारण, एक कंडक्टर किस आकार का रूप ले लेता है?

Question

Accepted Answer

A: कैटनरी (Catenary)

Explanation & Concepts:
दो समर्थनों के बीच लटका हुआ एक ट्रांसमिशन लाइन कंडक्टर, जो अपने स्वयं के भार के तहत लटका होता है, गणितीय रूप से कैटनरी का आकार लेता है। यह वक्र उस संतुलन स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है जहां कंडक्टर के भार का गुरुत्वाकर्षण बल उसकी लंबाई के साथ तनाव (tension) द्वारा संतुलित होता है।

Working Principle: यह आकार समान घनत्व वाली एक लचीली, न खिंचने वाली डोरी में बलों के संतुलन द्वारा परिभाषित होता है। चूंकि कंडक्टर की प्रति इकाई लंबाई का भार लंबवत कार्य करता है जबकि तनाव स्पैन के साथ बदलता रहता है, इसलिए यह वक्र अवकल समीकरण $y = a \cosh(\frac{x}{a})$ को संतुष्ट करता है। व्यावहारिक ट्रांसमिशन इंजीनियरिंग में, उन स्पैन के लिए जहां स्पैन की लंबाई की तुलना में सैग छोटा होता है, गणना को सरल बनाने के लिए कैटनरी को अक्सर परवलय (parabola) द्वारा अनुमानित किया जाता है।

Key Formulas: $y = a \cosh(\frac{x}{a})$ — कैटनरी समीकरण; $S = \frac{w L^2}{8T}$ — सैग का परवलयिक अनुमान

Key Points: कैटनरी वह आकार है जो एक लटकी हुई लचीली श्रृंखला या तार अपने स्वयं के भार के तहत बनाती है।; तार में तनाव सबसे निचले बिंदु (केंद्र) पर न्यूनतम और समर्थनों पर अधिकतम होता है।; व्यावहारिक ट्रांसमिशन लाइनों के लिए, यदि सैग स्पैन के 10% से कम है, तो कैटनरी वक्र लगभग एक परवलय के समान होता है।; पावर लाइनों के लिए गणनाओं को परवलयिक अनुमान का उपयोग करके सरल बनाया जाता है क्योंकि इसे एकीकृत करना गणितीय रूप से आसान होता है।

Advantages: आंतरिक यांत्रिक तनाव का संतुलित वितरण प्रदान करता है।; सैग और क्लीयरेंस आवश्यकताओं के निर्धारण की अनुमति देता है।

Disadvantages: कैटनरी गणित परवलयिक अनुमानों की तुलना में गणनात्मक रूप से अधिक जटिल है।; सैग तापमान और बर्फ के भार के साथ बदलता रहता है, जिसके लिए गतिशील संरचनात्मक विश्लेषण की आवश्यकता होती है।

Applications: ट्रांसमिशन और वितरण पावर लाइनें; सस्पेंशन पुल और कैटनरी-आधारित रेलवे ओवरहेड लाइनें

Additional Info: कैटनरी वक्र तनाव और प्रति इकाई लंबाई भार के अनुपात ($T/w$) पर निर्भर करता है।. विकल्प B, C, और D ज्यामितीय आकृतियाँ (वृत्त, त्रिभुज, दीर्घवृत्त) हैं जो लटके हुए लचीले कंडक्टर के प्राकृतिक संतुलन का प्रतिनिधित्व नहीं करती हैं।

Answer: A सही है — अपने स्वयं के भार के तहत दो समर्थनों के बीच लटका हुआ कंडक्टर एक कैटनरी वक्र का आकार लेता है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि हालांकि वास्तविक आकार एक कैटनरी है, प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं के लिए ट्रांसमिशन लाइन सैग की गणना सरलता के लिए अक्सर परवलयिक अनुमान ($S = \frac{wL^2}{8T}$) का उपयोग करती है, जब स्पैन की लंबाई छोटी होती है।

Answer

Option B: अर्ध-वृत्त (Semi-circle)

Answer

Option C: त्रिभुज (Triangle)

Answer

Option D: दीर्घवृत्त (Ellipse)

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