ट्री (Tree) क्या है

Question

ट्री (Tree) क्या है

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A: नेटवर्क का एक कनेक्टेड सब-ग्राफ जिसमें मूल ग्राफ के सभी नोड्स शामिल होते हैं लेकिन कोई बंद पथ नहीं होता

Explanation & Concepts:
इलेक्ट्रिकल नेटवर्क पर लागू ग्राफ थ्योरी में एक ट्री एक ऐसा सब-ग्राफ है जिसमें मूल ग्राफ के सभी नोड्स (शीर्ष) शामिल होते हैं, साथ ही यह बिना किसी बंद लूप के एक कनेक्टेड संरचना बनाए रखता है। यह प्रभावी रूप से एक नेटवर्क में सभी नोड्स को जोड़ने के लिए आवश्यक शाखाओं की न्यूनतम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें $n$ नोड्स के लिए कुल $n-1$ शाखाएं होती हैं।

Working Principle: यह सिद्धांत नेटवर्क ग्राफ में नोड्स और शाखाओं के बीच के संबंध पर आधारित है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि सभी नोड्स बिना बंद पथ बनाए (जो अनावश्यक या लूप बना सकते हैं) जुड़े हुए हैं, शाखाओं की संख्या $b_t$ को $b_t = n - 1$ शर्त को पूरा करना चाहिए। एक ट्री में किसी भी शाखा को जोड़ने से एक फंडामेंटल लूप बनता है, जबकि ट्री से किसी भी शाखा को हटाने से ग्राफ डिस्कनेक्ट हो जाता है।

Key Formulas: $b_t = n - 1$ — जहाँ $b_t$ ट्री में शाखाओं की संख्या है और $n$ नोड्स की संख्या है।; $l = b - n + 1$ — जहाँ $l$ ग्राफ में लिंक (को-ट्री शाखाएं) की संख्या है।

Key Points: एक ट्री में मूल ग्राफ के सभी $n$ नोड्स शामिल होने चाहिए।; एक ट्री में बिल्कुल $n-1$ शाखाएं होती हैं।; एक ट्री में कोई बंद पथ (लूप) नहीं हो सकता।; ट्री में कोई भी शाखा जोड़ने पर बिल्कुल एक बंद लूप बन जाता है।

Advantages: अनावश्यक पथों को कम करके जटिल नेटवर्क विश्लेषण को सरल बनाता है।; कट-सेट और लूप समीकरणों (KCL और KVL) को निर्धारित करने का आधार बनाता है।

Disadvantages: धारा प्रवाह के लिए सभी संभावित पथों का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।; पूर्ण प्लैनर या नॉन-प्लैनर नेटवर्क का पूरा विवरण देने के लिए अतिरिक्त लिंक की आवश्यकता होती है।

Applications: नेटवर्क विश्लेषण में स्वतंत्र लूप समीकरण निर्धारित करना।; सिस्टम की विश्वसनीयता और टोपोलॉजिकल कनेक्टिविटी अध्ययन।

Additional Info: को-ट्री (Co-tree), ट्री का पूरक होता है, जिसमें वे सभी शाखाएं शामिल होती हैं जो ट्री में नहीं हैं।. विकल्प B गलत है क्योंकि बिना बंद पथ वाला कनेक्टेड ग्राफ ट्री की परिभाषा तो है, लेकिन इसमें मूल ग्राफ के सभी नोड्स को शामिल करने की आवश्यकता का अभाव है।. विकल्प C गलत है क्योंकि परिभाषा के अनुसार, ट्री में कोई बंद पथ नहीं होना चाहिए।

Answer: A सही है — ट्री एक कनेक्टेड सब-ग्राफ है जो मूल ग्राफ के हर नोड को कवर करता है, जबकि यह एक एसाइक्लिक (लूप-मुक्त) संरचना बनाए रखता है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि नेटवर्क टोपोलॉजी में, $n$ नोड्स और $b$ शाखाओं वाले ग्राफ के लिए, ट्री में हमेशा $n-1$ शाखाएं होती हैं, चाहे मूल नेटवर्क में कितने भी लूप मौजूद हों।

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Option B: बिना किसी बंद पथ वाला नेटवर्क का एक कनेक्टेड ग्राफ

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Option C: नेटवर्क का एक कनेक्टेड सब-ग्राफ जिसमें मूल ग्राफ के सभी नोड्स शामिल होते हैं और बंद पथ होता है

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Option D: उपरोक्त सभी

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