एक इलेक्ट्रॉन $2 imes 10^6 ext{ m/s}$ के वेग से $0.5 ext{ T}$ के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में क्षेत्र के ल

Question

एक इलेक्ट्रॉन $2 	imes 10^6 	ext{ m/s}$ के वेग से $0.5 	ext{ T}$ के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है। इलेक्ट्रॉन द्वारा निर्मित वृत्ताकार पथ की त्रिज्या की गणना कीजिए। (इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = $9.1 	imes 10^{-31} 	ext{ kg}$, आवेश = $1.6 	imes 10^{-19} 	ext{ C}$)

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The correct answer is A: $22.75 	imes 10^{-6}	ext{ m}$. जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है, तो वह अपनी गति और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत एक लॉरेंट्ज़ बल का अनुभव करता है। यह बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है, जिससे कण त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ के साथ एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है, तो वह अपनी गति और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत एक लॉरेंट्ज़ बल का अनुभव करता है। यह बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है, जिससे कण त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ के साथ एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।

Working Principle: चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{v} 	imes \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि वेग $\vec{v}$ चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है, इसलिए बल का परिमाण $F = qvB$ है। चूँकि यह बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, यह कोई कार्य नहीं करता है और केवल गति की दिशा को बदलता है, जो $\frac{mv^2}{r}$ (अभिकेंद्र बल) के रूप में कार्य करता है, जिससे वृत्ताकार गति होती है।

Key Formulas: $r = \frac{mv}{qB}$ — चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के लिए वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या; $F_{m} = qvB$ — चुंबकीय बल (लॉरेंट्ज़ बल) का परिमाण जब $	heta = 90^\circ$ हो

Key Points: चुंबकीय बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, इसलिए इलेक्ट्रॉन की चाल स्थिर रहती है।; त्रिज्या संवेग ($p = mv$) के सीधे आनुपातिक और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता ($B$) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।; यदि वेग क्षेत्र के लंबवत नहीं होता, तो पथ कुंडलित (helical) होता।

Advantages: कणों को सीमित करने और निर्देशित करने के लिए साइक्लोट्रॉन जैसे कण त्वरकों में उपयोग किया जाता है।

Applications: कैथोड रे ट्यूब (CRT) विक्षेपण प्रणाली; द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात के आधार पर आयनों की पहचान करने के लिए मास स्पेक्ट्रोमेट्री

Additional Info: दिया गया डेटा: $m = 9.1 	imes 10^{-31} 	ext{ kg}$, $v = 2 	imes 10^6 	ext{ m/s}$, $B = 0.5 	ext{ T}$, $q = 1.6 	imes 10^{-19} 	ext{ C}$।. गणना: $r = \frac{(9.1 	imes 10^{-31}) 	imes (2 	imes 10^6)}{(1.6 	imes 10^{-19}) 	imes 0.5} = \frac{18.2 	imes 10^{-25}}{0.8 	imes 10^{-19}} = 22.75 	imes 10^{-6} 	ext{ m}$।. विकल्प B की गणना तब की जाती है यदि कोई गलत तरीके से $q=3.2 	imes 10^{-19}$ का उपयोग करता है या दस की घातों में कोई त्रुटि करता है।

Answer: A सही है — सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $22.75 	imes 10^{-6} 	ext{ m}$ परिकलित की जाती है।

Exam Tip: घातों की गलतियों से बचने के लिए सूत्र में मान डालने से पहले हमेशा सुनिश्चित करें कि आपकी इकाइयां SI (m, kg, s, C, T) में हैं।

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Option B: $11.37 	imes 10^{-6}	ext{ m}$

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Option C: $45.5 	imes 10^{-6}	ext{ m}$

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Option D: $5.68 	imes 10^{-6}	ext{ m}$

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