एक वस्तु 15 cm की फोकस दूरी वाले उत्तल दर्पण से 30 cm की दूरी पर रखी गई है। दर्पण सूत्र का उपयोग करके प्रतिबिं

Question

एक वस्तु 15 cm की फोकस दूरी वाले उत्तल दर्पण से 30 cm की दूरी पर रखी गई है। दर्पण सूत्र का उपयोग करके प्रतिबिंब दूरी (v) की गणना कीजिए।

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is C: 10 cm. गोलीय दर्पणों के लिए कार्तीय चिह्न परिपाटी (Cartesian sign convention) के अनुसार, वस्तु की दूरी ($u$) हमेशा ऋणात्मक होती है, जबकि उत्तल दर्पण की फोकस दूरी ($f$) धनात्मक होती है। दर्पण सूत्र में $u = -30	ext{ cm}$ और $f = +15	ext{ cm}$ रखने पर प्रतिबिंब दूरी ($v$) $+10	ext{ cm}$ प्राप्त होती है। धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि उत्तल दर्पण के पीछे एक आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
गोलीय दर्पणों के लिए कार्तीय चिह्न परिपाटी (Cartesian sign convention) के अनुसार, वस्तु की दूरी ($u$) हमेशा ऋणात्मक होती है, जबकि उत्तल दर्पण की फोकस दूरी ($f$) धनात्मक होती है। दर्पण सूत्र में $u = -30	ext{ cm}$ और $f = +15	ext{ cm}$ रखने पर प्रतिबिंब दूरी ($v$) $+10	ext{ cm}$ प्राप्त होती है। धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि उत्तल दर्पण के पीछे एक आभासी और सीधा प्रतिबिंब बनता है।

Working Principle: दर्पण सूत्र वस्तु की दूरी ($u$), प्रतिबिंब दूरी ($v$), और फोकस दूरी ($f$) को $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ के रूप में संबंधित करता है। उत्तल दर्पण अपसारी (diverging) दर्पण होते हैं जो वास्तविक वस्तुओं के लिए हमेशा दर्पण के ध्रुव के पीछे आभासी, सीधे और छोटे प्रतिबिंब बनाते हैं।

Key Formulas: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ — दर्पण सूत्र; $m = -\frac{v}{u}$ — गोलीय दर्पण का आवर्धन

Key Points: परंपरा के अनुसार वस्तु की दूरी ($u$) को ऋणात्मक ($-30	ext{ cm}$) लिया जाता है।; उत्तल दर्पण की फोकस दूरी ($f$) हमेशा धनात्मक ($+15	ext{ cm}$) होती है।; धनात्मक प्रतिबिंब दूरी ($v = +10	ext{ cm}$) का अर्थ है कि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे बनता है।

Advantages: समतल या अवतल दर्पणों की तुलना में उत्तल दर्पण व्यापक दृष्टि क्षेत्र (field of view) प्रदान करते हैं।; ये वस्तु की स्थिति की परवाह किए बिना हमेशा सीधा प्रतिबिंब बनाते हैं।

Disadvantages: बने हुए प्रतिबिंब हमेशा छोटे होते हैं, जिससे दूरी का गलत अनुमान हो सकता है।

Applications: पीछे के यातायात को देखने के लिए वाहनों में रियर-व्यू मिरर।; गलियारों, दुकानों और एटीएम मशीनों में सुरक्षा दर्पण।

Additional Info: गणना: $\frac{1}{15} = \frac{1}{v} + \frac{1}{-30} \implies \frac{1}{v} = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2 + 1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \implies v = +10	ext{ cm}$।. विकल्प B ($-15	ext{ cm}$) और विकल्प D ($-10	ext{ cm}$) उत्तल दर्पण की सही चिह्न परिपाटी को ध्यान में रखने में विफल हैं।

Answer: C सही है — दर्पण सूत्र में चिह्न परिपाटी ($u = -30	ext{ cm}$, $f = +15	ext{ cm}$) लागू करने पर $v = +10	ext{ cm}$ प्राप्त होता है।

Exam Tip: गोलीय दर्पण या लेंस की समस्याओं को हल करने से पहले हमेशा ज्ञात राशियों ($u$, $v$, $f$) को चिह्न दें; गणना की जाने वाली अज्ञात राशि को कभी भी चिह्न न दें।

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