एक ग्राफ का को-ट्री (Co-tree) क्या होता है?

Question

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B: दिए गए ट्री में सभी लिंक्स का समूह

Explanation & Concepts:
विद्युत नेटवर्क पर लागू ग्राफ सिद्धांत में, एक ट्री (tree) एक जुड़ा हुआ सबग्राफ होता है जिसमें सभी नोड्स होते हैं लेकिन कोई लूप नहीं होता है। को-ट्री, ट्री का पूरक है, जो मूल ग्राफ की उन सभी शाखाओं से मिलकर बनता है जो चुने हुए ट्री में शामिल नहीं होती हैं, जिन्हें लिंक्स कहा जाता है।

Working Principle: यदि किसी कनेक्टेड ग्राफ में $n$ नोड्स और $b$ शाखाएं हैं, तो किसी भी स्पैनिंग ट्री में बिल्कुल $t = n - 1$ शाखाएं होती हैं। शेष $l = b - (n - 1)$ शाखाएं ट्री का हिस्सा नहीं बनती हैं और उन्हें लिंक्स के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। इन $l$ लिंक्स का समूह सामूहिक रूप से ग्राफ का को-ट्री बनाता है।

Key Formulas: $b = t + l$ — कुल शाखाएं ट्री शाखाओं ($t$) और लिंक्स ($l$) के योग के बराबर होती हैं; $l = b - n + 1$ — एक कनेक्टेड ग्राफ में लिंक्स (को-ट्री शाखाओं) की संख्या

Key Points: एक ट्री में ग्राफ के सभी नोड्स ($n$) शामिल होने चाहिए।; एक ट्री में बिल्कुल $n-1$ शाखाएं होती हैं।; सर्किट विश्लेषण में फंडामेंटल लूप समीकरण बनाने के लिए को-ट्री आवश्यक है।; लिंक्स की संख्या सर्किट में स्वतंत्र लूप की संख्या निर्धारित करती है।

Advantages: किरचॉफ के नियमों का उपयोग करके नेटवर्क विश्लेषण को सरल बनाता है; स्वतंत्र लूप को परिभाषित करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है

Disadvantages: ट्री का चयन अद्वितीय नहीं है; अलग-अलग ट्री अलग-अलग लिंक्स के सेट की ओर ले जाते हैं; अत्यधिक घने ग्राफ में चयन प्रक्रिया जटिल हो जाती है

Applications: विद्युत सर्किट के लिए मेश विश्लेषण; मैट्रिक्स-आधारित नेटवर्क समाधानों के लिए सर्किट टोपोलॉजी निर्धारित करना

Additional Info: लिंक्स $l$ की संख्या को ग्राफ की शून्यता (nullity) भी कहा जाता है।. विकल्प A गलत है क्योंकि यह ट्री को स्वयं वर्णित करता है, न कि पूरक को।. विकल्प C गलत है क्योंकि नोड्स वर्टिस (vertices) होते हैं, जबकि को-ट्री किनारों (शाखाओं) से बने होते हैं।

Answer: B सही है — को-ट्री को ग्राफ की उन सभी शाखाओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है जो चुने गए स्पैनिंग ट्री में मौजूद नहीं हैं, जिन्हें लिंक्स कहा जाता है।

Exam Tip: याद रखें कि लिंक्स की संख्या फंडामेंटल लूप की संख्या के बराबर होती है, जो कि मेश विश्लेषण के लिए आवश्यक समीकरणों की संख्या के बराबर है: $l = b - n + 1$।

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Option A: दिए गए ट्री में सभी शाखाओं का समूह

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Option C: दिए गए ट्री में सभी नोड्स का समूह

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Option D: उपरोक्त में से कोई नहीं

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