ElectricalPower System

यदि आपूर्ति (supply) की आवृत्ति f Hz है, तो तात्कालिक शक्ति (instantaneous power) की आवृत्ति क्या होगी?

f / 2

f x f

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा और सिद्धांतElectricalPower System

Quick Summary:

एक AC सर्किट जिसमें प्रतिरोध और प्रतिघात (reactance) होता है, उसमें तात्कालिक शक्ति एक ऐसी आवृत्ति पर दोलन करती है जो आपूर्ति आवृत्ति की तुलना में ठीक दोगुनी होती है। यह इसलिए होता है क्योंकि वोल्टेज ( $v(t) = V_m \sin(\omega t)$ ) और धारा ( $i(t) = I_m \sin(\omega t - \phi)$ ) का गुणनफल एक ऐसे घटक का निर्माण करता है जिसमें $\sin(\omega t)\sin(\omega t - \phi)$ पद होता है, जो $2\omega t$ युक्त एक पद में विस्तारित हो जाता है।

⚙️TETechnical Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$p(t) = VI \cos(\phi) - VI \cos(2\omega t - \phi)$ — तात्कालिक शक्ति अभिव्यक्ति

$f_p = 2f$ — आपूर्ति आवृत्ति के सापेक्ष शक्ति की आवृत्ति

⚙️ Working Principle

AC सर्किट में, $p(t) = v(t) \cdot i(t)$ । त्रिकोणमितीय पहचान $\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर, गुणनफल का परिणाम एक स्थिर पद और एक समय-परिवर्तनीय पद होता है जो $2\omega$ की कोणीय आवृत्ति पर दोलन करता है। चूँकि $\omega = 2\pi f$ होता है, शक्ति की आवृत्ति $2f$ हो जाती है, जो वोल्टेज/धारा के प्रत्येक एक चक्र के लिए दो शक्ति चक्रों को दर्शाती है।

📌 Key Points

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तात्कालिक शक्ति में एक स्थिर औसत घटक और एक दोलनशील घटक शामिल होता है।
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दोलनशील घटक की आवृत्ति $2f$ होती है क्योंकि यह आवृत्ति f वाले दो ज्यावक्रीय (sinusoidal) फलनों का गुणनफल है।
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पूर्णतः प्रतिरोधक सर्किट में, शक्ति कभी ऋणात्मक नहीं होती, बल्कि यह आवृत्ति $2f$ पर $0$ और $2V_m I_m$ के बीच दोलन करती है।

✅ Advantages

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इलेक्ट्रिक मोटरों में तात्कालिक टॉर्क की गणना करने के लिए उपयोगी।
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पावर इलेक्ट्रॉनिक कन्वर्टर्स में कंपन और रिपल का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक।

🛠️ Applications / Uses

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AC मोटर टॉर्क रिपल विश्लेषण
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पावर क्वालिटी और हार्मोनिक विश्लेषण
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रेक्टिफायर सर्किट डिज़ाइन

📄 Additional Information

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स्थिर पद वास्तविक (सक्रिय) शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि दोलनशील पद प्रत्यावर्ती शक्ति प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है।
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विकल्प A गलत है क्योंकि यह बताता है कि शक्ति आवृत्ति आपूर्ति आवृत्ति के बराबर है। विकल्प C गलत है क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि शक्ति की आवृत्ति वोल्टेज से धीमी है, जो रैखिक AC सिस्टम में भौतिक रूप से असंभव है।

📊 Diagram / Illustration

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B सही है — AC सर्किट में तात्कालिक शक्ति की आवृत्ति $2f$ होती है, जो आपूर्ति आवृत्ति की दोगुनी है।

Core Concepts Used

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तात्कालिक शक्ति AC सर्किट सिद्धांत त्रिकोणमितीय पहचान

💡 EXAM TIP

हमेशा याद रखें कि जब भी आवृत्ति f के दो संकेतों को गुणा किया जाता है, तो गुणन-से-योग त्रिकोणमितीय पहचान के कारण परिणामी आवृत्ति $2f$ होती है।

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