यदि कोई धनराशि चक्रवर्द्धि ब्याज पर 10 वर्षों में स्वयं की दोगुनी हो जाती है, तो उसी ब्याज दर पर यह कितने वर्ष

Question

यदि कोई धनराशि चक्रवर्द्धि ब्याज पर 10 वर्षों में स्वयं की दोगुनी हो जाती है, तो उसी ब्याज दर पर यह कितने वर्षों में स्वयं की 16 गुनी हो जाएगी?

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is C: 40. चक्रवृद्धि ब्याज में, यदि कोई राशि $T$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है, तो यह ज्यामितीय रूप से बढ़ती है। मूल राशि का $2^n$ गुना होने के लिए, आवश्यक कुल समय $n 	imes T$ वर्ष होता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
चक्रवृद्धि ब्याज में, यदि कोई राशि $T$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है, तो यह ज्यामितीय रूप से बढ़ती है। मूल राशि का $2^n$ गुना होने के लिए, आवश्यक कुल समय $n 	imes T$ वर्ष होता है।

Working Principle: चक्रवृद्धि ब्याज एक घातीय वृद्धि फलन $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ का पालन करता है। चूंकि वृद्धि कारक $(1 + \frac{r}{100})^T = 2$ है, इसलिए इसे 4 की घात ($2^4 = 16$) तक बढ़ाने के लिए समय अंतराल को 4 से गुणा करना होगा, जिसके परिणामस्वरूप $4 	imes 10 = 40$ वर्ष प्राप्त होते हैं।

Key Formulas: $A = P(1 + \frac{r}{100})^t$ — सामान्य चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र; $T_{total} = n 	imes T_{doubling}$ — दोहरे होने की शक्ति के लिए संबंध

Key Points: चक्रवृद्धि ब्याज निरंतर प्रतिशत वृद्धि दर्शाता है, जो घातीय वक्र की ओर ले जाता है।; किसी गुणज $M$ तक पहुँचने में लगा समय $M = 2^n$ संबंध का पालन करता है, जहाँ $n$ दोहरे होने की अवधियों की संख्या है।; घातीय वृद्धि की विशेषता यह है कि दोहरे होने का समय प्रारंभिक मूलधन से स्वतंत्र होता है।

Advantages: अनुमानित दीर्घकालिक वृद्धि; जैविक जनसंख्या मॉडल पर लागू

Disadvantages: लंबी अवधि में स्थिर ब्याज दर मानकर चलना; मुद्रास्फीति या बाहरी कारकों को ध्यान में नहीं रखता

Applications: वित्तीय निवेश वृद्धि; रेडियोधर्मी क्षय (अर्ध-आयु गणना)

Additional Info: 16 को $2^4$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो यह दर्शाता है कि 4 बार दोगुना करने की आवश्यकता है।. गलत विकल्पों का स्पष्टीकरण: विकल्प A ज्यामितीय गुणन के बजाय रैखिक जोड़ मान लेता है; विकल्प B आधार अंतराल है; विकल्प D वृद्धि चक्र को कम करके आंकता है।

Answer: C सही है — राशि ज्यामितीय प्रगति का पालन करती है जहाँ $2^4 = 16$, जिसे 40 वर्ष के बराबर होने के लिए 10 वर्ष के 4 चक्रों की आवश्यकता होती है।

Exam Tip: वित्त और भौतिकी (अर्ध-आयु) दोनों में घातीय वृद्धि की समस्याओं को जल्दी हल करने के लिए लक्ष्य गुणजों को हमेशा आधार वृद्धि कारक की घातों में बदलें (जैसे, 16 को $2^4$ में)।

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