व्यंजक $ (1 + \cot^2 heta)(1 + \cos heta)(1 - \cos heta) - (1 - \sin heta)(1 + \sin heta)(1 + an^2

Question

व्यंजक $ (1 + \cot^2 	heta)(1 + \cos 	heta)(1 - \cos 	heta) - (1 - \sin 	heta)(1 + \sin 	heta)(1 + 	an^2 	heta) $ का मान है: ($	heta $ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है)

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is A: 0. सर्वसमिका $1 + \cot^2 	heta = \csc^2 	heta$ और $1 - \cos^2 	heta = \sin^2 	heta$ का उपयोग करके $\csc^2 	heta \cdot \sin^2 	heta = 1$ प्राप्त करें। इसी प्रकार, $1 - \sin^2 	heta = \cos^2 	heta$ और $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ से $\cos^2 	heta \cdot \sec^2 	heta = 1$ प्राप्त होता है। व्यंजक सरल होकर $1 - 1 = 0$ हो जाता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: सर्वसमिका $1 + \cot^2 	heta = \csc^2 	heta$ और $1 - \cos^2 	heta = \sin^2 	heta$ का उपयोग करके $\csc^2 	heta \cdot \sin^2 	heta = 1$ प्राप्त करें। इसी प्रकार, $1 - \sin^2 	heta = \cos^2 	heta$ और $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ से $\cos^2 	heta \cdot \sec^2 	heta = 1$ प्राप्त होता है। व्यंजक सरल होकर $1 - 1 = 0$ हो जाता है।

Formula Used: $$1 + \cot^2 	heta = \csc^2 	heta$$, $$1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$$, $$(1 + \cos 	heta)(1 - \cos 	heta) = 1 - \cos^2 	heta = \sin^2 	heta$$, $$(1 - \sin 	heta)(1 + \sin 	heta) = 1 - \sin^2 	heta = \cos^2 	heta$$

Given: प्रथम चतुर्थांश में θ के साथ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं से युक्त व्यंजक।

Steps: प्रथम भाग को सरल करना: सर्वसमिका $1 + \cot^2 	heta = \csc^2 	heta$ और $(1 + \cos 	heta)(1 - \cos 	heta) = 1 - \cos^2 	heta = \sin^2 	heta$ का उपयोग करते हुए, पहला पद $\csc^2 	heta \cdot \sin^2 	heta$ है।. द्वितीय भाग को सरल करना: सर्वसमिका $(1 - \sin 	heta)(1 + \sin 	heta) = 1 - \sin^2 	heta = \cos^2 	heta$ और $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ का उपयोग करते हुए, दूसरा पद $\cos^2 	heta \cdot \sec^2 	heta$ है।. अंतिम गणना: दो सरल किए गए पदों को घटाएं: $1 - 1 = 0$|

Answer: A सही है क्योंकि पूरा व्यंजक सरल होकर $1 - 1$ हो जाता है, जो $0$ के बराबर है।

Exam Tip: ये सर्वसमिका-आधारित सरलीकरण SSC और रेलवे परीक्षाओं में आम हैं। जटिल पदों को जल्दी से रद्द करने के लिए हमेशा $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$ और व्युत्क्रम संबंधों की तलाश करें।

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