प्रभावी द्रव्यमान (effective mass) का व्यंजक इस प्रकार प्राप्त किया जाता है

Question

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A: $m^* = \frac{\hbar^2}{\frac{d^2E}{dk^2}}$

Explanation & Concepts:
क्रिस्टल जाली में आवेश वाहक का प्रभावी द्रव्यमान ($m^*$) ऊर्जा-संवेग ($E-k$) विक्षेपण संबंध के वक्रता (curvature) के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित होता है। यह जाली बलों को ध्यान में रखते हुए, आवधिक विभव (periodic potential) से गुजरने वाले इलेक्ट्रॉनों या होल्स के जड़त्वीय गुणों का प्रतिनिधित्व करता है।

Working Principle: क्रिस्टल में, एक इलेक्ट्रॉन आंतरिक आवधिक बलों के अधीन होता है। अर्ध-शास्त्रीय मॉडल के अनुसार, बाहरी क्षेत्र के कारण इलेक्ट्रॉन पर बल $F = m^*a$ होता है। समूह वेग $v_g = \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk}$ को समय के सापेक्ष अवकलित करके और इसे त्वरण $\frac{dv_g}{dt}$ से संबंधित करके, हम यह प्राप्त करते हैं कि त्वरण तरंग सदिश $k$ के सापेक्ष ऊर्जा के दूसरे अवकलज के समानुपाती होता है। इस प्रकार, $m^* = \hbar^2 \left( \frac{d^2E}{dk^2} \right)^{-1}$।

Key Formulas: $m^* = \hbar^2 \left( \frac{d^2E}{dk^2} \right)^{-1}$ — प्रभावी द्रव्यमान की परिभाषा; $v_g = \frac{1}{\hbar} \frac{dE}{dk}$ — इलेक्ट्रॉन का समूह वेग

Key Points: प्रभावी द्रव्यमान $E-k$ आरेख की वक्रता के व्युत्क्रमानुपाती होता है।; तीव्र वक्रता (बड़ा दूसरा अवकलज) का अर्थ कम प्रभावी द्रव्यमान होता है।; ऊर्जा बैंड के शीर्ष के पास प्रभावी द्रव्यमान ऋणात्मक हो सकता है, जो होल्स के अनुरूप होता है।; यह गैर-गोलाकार ऊर्जा बैंड में एक टेंसर राशि है, लेकिन परवलयिक बैंड में एक अदिश राशि में सरल हो जाती है।

Advantages: जटिल बहु-निकाय जाली इंटरैक्शन को एकल कण मॉडल में सरल करता है।; सेमीकंडक्टर परिवहन के लिए शास्त्रीय ड्रिफ्ट-डिफ्यूजन समीकरणों के उपयोग की अनुमति देता है।

Disadvantages: केवल बैंड के चरम सीमाओं के पास ही सख्ती से मान्य है।; सुधारों के बिना पूर्ण क्वांटम यांत्रिक टनलिंग या उच्च-ऊर्जा गैर-परवलयता को पकड़ने में विफल रहता है।

Applications: सेमीकंडक्टर में वाहकों की गतिशीलता (mobility) निर्धारित करना।; अवस्थाओं का घनत्व (DOS) प्रभावी द्रव्यमान की गणना करना।; ट्रांजिस्टर स्विचिंग गति का विश्लेषण करना।

Additional Info: पैरामीटर $\hbar$ कम किया हुआ प्लैंक नियतांक ($h/2\pi$) है।. विकल्प B आयामी रूप से गलत है क्योंकि इसमें $\hbar$ का वर्ग पद नहीं है।. विकल्प C एक ऋणात्मक द्रव्यमान का सुझाव देता है जो केवल ब्रिलौइन क्षेत्र (Brillouin zone) के विशिष्ट अवतल क्षेत्रों पर लागू होता है, न कि सामान्य परिभाषा पर।

Answer: A सही है — प्रभावी द्रव्यमान को तरंग सदिश $k$ के सापेक्ष ऊर्जा $E$ के दूसरे अवकलज के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे $\hbar^2$ द्वारा स्केल किया गया है।

Exam Tip: याद रखें कि प्रभावी द्रव्यमान वक्रता से व्युत्क्रमानुपाती संबंधित है: एक 'सपाट' बैंड का अर्थ है भारी द्रव्यमान (कम गतिशीलता), जबकि एक 'घुमावदार' बैंड का अर्थ है हल्का द्रव्यमान (उच्च गतिशीलता)।

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Option B: $m^* = \frac{\hbar}{\frac{d^2E}{dk^2}}$

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Option C: $m^* = -\frac{\hbar^2}{\frac{d^2E}{dk^2}}$

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Option D: कोई नहीं

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