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एक सदिश का ध्रुवीय (polar) रूप 10 ∠ 30 है। इस सदिश का आयताकार (rectangular) रूप क्या है?
5√3 + j5
10√3 + j2
√3 + j5
15√3 + j3
5√3 + j5
ध्रुवीय रूप R∠θ में एक सम्मिश्र संख्या को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके आयताकार रूप x+jy में परिवर्तित किया जा सकता है। यहाँ, R=10 और θ=30° है। वास्तविक भाग x=Rcos(θ) है और काल्पनिक भाग y=Rsin(θ) है।
ध्रुवीय रूप R∠θ में एक सम्मिश्र संख्या को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके आयताकार रूप x+jy में परिवर्तित किया जा सकता है। यहाँ, R=10 और θ=30° है। वास्तविक भाग x=Rcos(θ) है और काल्पनिक भाग y=Rsin(θ) है।
x=Rcos(θ) — परिमाण का वास्तविक घटक में रूपांतरण
y=Rsin(θ) — परिमाण का काल्पनिक घटक में रूपांतरण
z=x+jy=R(cos(θ)+jsin(θ)) — ध्रुवीय से आयताकार रूप में रूपांतरण
परिवर्तन यूलर के सूत्र और बुनियादी त्रिकोणमिति का उपयोग करता है। वास्तविक भाग x=10cos(30°)=10×23=53 है और काल्पनिक भाग y=10sin(30°)=10×21=5 है। अतः, आयताकार रूप 53+j5 है।
ध्रुवीय रूप R∠θ एक फेजर को दर्शाता है जिसका परिमाण R और फेज कोण θ होता है।
आयताकार रूप x+jy में, x वास्तविक (इन-फेज) घटक को दर्शाता है और y काल्पनिक (क्वाड्रैचर) घटक को दर्शाता है।
cos(30°)=23 और sin(30°)=0.5 का मान होता है।
ध्रुवीय रूप सम्मिश्र संख्याओं के गुणन और भाग के लिए अत्यधिक कुशल है।
आयताकार रूप सम्मिश्र संख्याओं के योग और घटाव के लिए आदर्श है।
यदि सटीक त्रिकोणमितीय मानों के साथ प्रदर्शन न किया जाए तो रूपों के बीच रूपांतरण से गोलाई (rounding) त्रुटियां हो सकती हैं।
एसी सर्किट विश्लेषण (फेजर आरेख)
नियंत्रण प्रणाली आवृत्ति प्रतिक्रिया विश्लेषण
सिग्नल प्रोसेसिंग
विकल्प B, 103+j2 को दर्शाता है, जो 10 के परिमाण के अनुरूप नहीं है।
विकल्प C, 3+j5 को दर्शाता है, जो इस परिमाण के लिए गणितीय रूप से गलत है।
विकल्प D, 153+j3 को दर्शाता है, जो इनपुट परिमाण से काफी बड़ा है।
A सही है — गणना 10cos(30°)+j10sin(30°) का परिणाम 53+j5 है।
30°, 45°, और 60° के मानक त्रिकोणमितीय मानों को हमेशा याद रखें क्योंकि वे इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग परीक्षाओं में बार-बार आते हैं।