एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $ 191 ext{ cm}^2 $ है। इसकी त्रिज्या (cm में) है:($\pi = \frac{22}{7

Question

एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $ 191	ext{ cm}^2 $ है। इसकी त्रिज्या (cm में) है:($\pi = \frac{22}{7}$ लें)

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is C: $\sqrt{\frac{1337}{66}}$. एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और इसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल के योग द्वारा दिया जाता है, जो $3\pi r^2$ है। $3\pi r^2 = 191$ रखकर और $\pi = \frac{22}{7}$ का मान उपयोग करने पर, हम $r^2 = \frac{191 	imes 7}{3 	imes 22} = \frac{1337}{66}$ प्राप्त करते हैं।

Step-by-Step Solution & Concepts:
एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और इसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल के योग द्वारा दिया जाता है, जो $3\pi r^2$ है। $3\pi r^2 = 191$ रखकर और $\pi = \frac{22}{7}$ का मान उपयोग करने पर, हम $r^2 = \frac{191 	imes 7}{3 	imes 22} = \frac{1337}{66}$ प्राप्त करते हैं।

Working Principle: एक ठोस अर्धगोले में $2\pi r^2$ के बराबर वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा) और $\pi r^2$ का एक समतल वृत्ताकार आधार क्षेत्रफल होता है। इनको जोड़ने पर सूत्र $TSA = 3\pi r^2$ प्राप्त होता है। त्रिज्या $r$ को अलग करने के लिए, हम समीकरण को $r = \sqrt{\frac{TSA}{3\pi}}$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं।

Key Formulas: $TSA = 3\pi r^2$ — ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल; $r = \sqrt{\frac{TSA}{3\pi}}$ — पृष्ठीय क्षेत्रफल से त्रिज्या की गणना करने का सूत्र

Key Points: खोखले गोले के विपरीत, ठोस अर्धगोले का एक आधार होता है।; कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में वक्र भाग ($2\pi r^2$) और आधार ($\pi r^2$) शामिल होते हैं।; $\pi = \frac{22}{7}$ प्रतिस्थापित करने से त्रिज्या चर की गणना सरल हो जाती है।

Applications: गोलाकार पात्रों की ज्यामिति; अर्धगोलाकार संरचनात्मक इंजीनियरिंग

Additional Info: गणना सरल होकर $3 	imes \frac{22}{7} 	imes r^2 = 191$ हो जाती है।. विकल्प C गणितीय रूप से व्युत्पन्न परिणाम $\sqrt{\frac{1337}{66}}$ है।

Answer: C सही है — ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $3\pi r^2$ है, जिससे $r^2 = \frac{1337}{66}$ प्राप्त होता है, अतः $r = \sqrt{\frac{1337}{66}}$ है।

Exam Tip: अर्धगोलों के लिए वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ($2\pi r^2$) और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ($3\pi r^2$) के बीच का अंतर हमेशा याद रखें, क्योंकि प्रतियोगी परीक्षाओं में यह त्रुटि का एक सामान्य बिंदु है।

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