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(8a + 5b + 9c)² का विस्तारित रूप लिखें।
64a² + 25b² + 81c² + 84ab + 90bc + 144ac
64a² + 25b² + 81c² + 80ab + 85bc + 144ac
64a² + 25b² + 81c² + 80ab + 90bc + 144ac
64a² + 25b² + 81c² + 80ab + 90bc + 154ac
64a² + 25b² + 81c² + 80ab + 90bc + 144ac
व्यंजक (8a + 5b + 9c)² बीजीय सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx का पालन करता है। x=8a, y=5b, और z=9c प्रतिस्थापित करने पर, हम वर्गों की गणना 64a², 25b², और 81c² के रूप में करते हैं, और क्रॉस-गुणनफलों की गणना 80ab (2×8×5), 90bc (2×5×9), और 144ac (2×8×9) के रूप में करते हैं।
व्यंजक (8a + 5b + 9c)² बीजीय सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx का पालन करता है। x=8a, y=5b, और z=9c प्रतिस्थापित करने पर, हम वर्गों की गणना 64a², 25b², और 81c² के रूप में करते हैं, और क्रॉस-गुणनफलों की गणना 80ab (2×8×5), 90bc (2×5×9), और 144ac (2×8×9) के रूप में करते हैं।
यह समस्या मूलभूत बीजीय सर्वसमिकाओं से संबंधित है, जो यूपीएससी सीएसएटी, एसएससी सीजीएल और बैंकिंग परीक्षाओं सहित सभी भारतीय प्रतियोगी परीक्षाओं में मात्रात्मक योग्यता का आधार बनाती हैं।
सर्वसमिका (x+y+z)² का परिणाम हमेशा तीन वर्ग पदों और तीन अलग क्रॉस-गुणनफल पदों में होता है।
संक्रियाओं का क्रम: पहले गुणांकों के वर्गों की गणना करें, फिर प्रत्येक चर युग्म के साथ 2 के गुणनफल की गणना करें।
विवरण पर ध्यान दें: क्रॉस-गुणनफल पद क्रमशः 2xy, 2yz, और 2zx हैं।
क्रॉस-गुणनफल 2xy: 2 × 8 × 5 = 80; 2yz: 2 × 5 × 9 = 90; 2zx: 2 × 8 × 9 = 144.
क्रॉस-गुणनफल पदों (84ab बनाम 80ab) में गणना त्रुटियों के कारण विकल्प A गलत है।
विकल्प B और D गलत हैं क्योंकि वे क्रॉस-गुणनफलों या अंतिम पदों के लिए गलत गुणांक प्रदान करते हैं।
C सही है — यह दिए गए पदों (8a + 5b + 9c)² पर बीजीय सर्वसमिका (x+y+z)² को सटीक रूप से लागू करता है।
इन विस्तारों में महारत हासिल करना भौतिकी (गतिकी सूत्र) और वित्त (चक्रवृद्धि ब्याज वृद्धि) में जटिल समीकरणों को सरल बनाने के लिए आवश्यक है, जो अक्सर प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं।
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