यदि $\cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}, (0^\circ | Mathematics MCQ (हिंदी) | Examoogle

MathematicsTrigonometry

यदि $\cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}, (0°< \theta < 90°)$ , तो $\frac{2 - \sin^2 \theta}{1 + \cos^2 \theta} + (\csc^2 \theta + \sec^2 \theta)$ का मान क्या है:

11/3

17/3

19/3

29/3

Correct Answer

📐 MA • Math प्रत्यक्ष प्रतिस्थापनMathematicsTrigonometry

19/3

Quick Summary:

चूँकि cot θ = 1/ $\sqrt{3}$ , इसलिए तुरंत θ = 60° पहचान लें। θ = 60° का मान व्यंजक में रखें: (2 - 3/4) / (1 + 1/4) + (4/3 + 4)।

📐MAMath Solutionप्रत्यक्ष प्रतिस्थापन

📋 Given

cot θ = 1/ $\sqrt{3}$ और 0° < θ < 90°।

🔢 Formula Used

cot⁡θ=13  ⟹  θ=60°\cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = 60°cotθ=3​1​⟹θ=60°, sin⁡260°=34\sin^{2} 60° = \frac{3}{4}sin260°=43​, cos⁡260°=14\cos^{2} 60° = \frac{1}{4}cos260°=41​, csc⁡260°=43\csc^{2} 60° = \frac{4}{3}csc260°=34​, sec⁡260°=4\sec^{2} 60° = 4sec260°=4

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के बीजगणितीय सरलीकरण में उलझ जाते हैं, जबकि θ एक मानक कोण होने के कारण सीधे मान ज्ञात करना आसान होता है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

कोण θ ज्ञात करें

दिया गया है $\cot \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ । चूँकि $\cot 60° = \frac{1}{\sqrt{3}}$ , इसलिए हम पाते हैं $\theta = 60°$$।

θ=60°\theta = 60°θ=60°

व्यंजक के पहले भाग का मूल्यांकन करें

$\frac{2 - \sin^{2} \theta}{1 + \cos^{2} \theta}$ में $\theta = 60°$ रखें। $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60° = \frac{1}{2}$ के साथ, हमें $\frac{2 - (\frac{3}{4})}{1 + (\frac{1}{4})} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}} = 1$ प्राप्त होता है।

2−341+14=1\frac{2 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = 11+41​2−43​​=1

व्यंजक के दूसरे भाग का मूल्यांकन करें

$\csc^{2} 60° + \sec^{2} 60°$ की गणना करें। चूँकि $\csc 60° = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\sec 60° = 2$ , तो मान $\frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3}$ है।

csc⁡260°+sec⁡260°=163\csc^{2} 60° + \sec^{2} 60° = \frac{16}{3}csc260°+sec260°=316​

अंतिम योग

दोनों परिणामों को जोड़ें: $1 + \frac{16}{3} = \frac{3 + 16}{3} = \frac{19}{3}$$।

1+163=1931 + \frac{16}{3} = \frac{19}{3}1+316​=319​

✅

C सही है क्योंकि व्यंजक का अंतिम परिकलित मान 19/3 है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय अनुपात मानक कोण बीजगणितीय मूल्यांकन

💡 EXAM TIP

हमेशा जांचें कि क्या दिया गया त्रिकोणमितीय अनुपात किसी मानक कोण (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) के अनुरूप है ताकि समस्या को काफी हद तक सरल बनाया जा सके।

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