यदि $\dfrac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \the... | Mathematics MCQ (हिंदी) | Examoogle

MathematicsTrigonometry

यदि $\dfrac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = 11$ है, तो $\dfrac{25 \tan^2 \theta - 3}{36 \cot^2 \theta + 2} - 1$ का मान है:

2/9

11/9

7/9

Correct Answer

📐 MA • Math त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनMathematicsTrigonometry

11/9

Quick Summary:

अंश और हर को cosθ से विभाजित करें ताकि (tanθ+1)/(tanθ-1) = 11 प्राप्त हो, फिर tanθ का मान ज्ञात करें। tanθ = 6/5 और cotθ = 5/6 को लक्षित व्यंजक में प्रतिस्थापित करें।

📐MAMath Solutionत्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

📋 Given

अनुपात (sinθ + cosθ) / (sinθ - cosθ) = 11 दिया गया है।

🔢 Formula Used

sin⁡θ+cos⁡θsin⁡θ−cos⁡θ=1+cot⁡θ1−cot⁡θ=11\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = \frac{1 + \cot \theta}{1 - \cot \theta} = 11sinθ−cosθsinθ+cosθ​=1−cotθ1+cotθ​=11

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

कई छात्र cosθ से विभाजित करना भूल जाते हैं और sinθ और cosθ को अलग-अलग हल करने का प्रयास करते हैं, जिससे अनावश्यक रूप से लंबे बीजगणितीय समीकरण बन जाते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

tanθ में परिवर्तित करें

दिए गए समीकरण के अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करें: $\frac{\tan \theta + 1}{\tan \theta - 1} = 11$

tan⁡θ+1=11tan⁡θ−11  ⟹  10tan⁡θ=12  ⟹  tan⁡θ=65\tan \theta + 1 = 11 \tan \theta - 11 \implies 10 \tan \theta = 12 \implies \tan \theta = \frac{6}{5}tanθ+1=11tanθ−11⟹10tanθ=12⟹tanθ=56​

cotθ ज्ञात करें

चूँकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ , हम व्युत्क्रम की गणना करते हैं: $\cot \theta = \frac{5}{6}$

cot⁡θ=56\cot \theta = \frac{5}{6}cotθ=65​

लक्षित व्यंजक का मूल्यांकन करें

$\tan^2 \theta = (\frac{6}{5})^2 = \frac{36}{25}$ और $\cot^2 \theta = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ को व्यंजक $\frac{25 \tan^2 \theta - 3}{36 \cot^2 \theta + 2} - 1$ में प्रतिस्थापित करें।

25(3625)−336(2536)+2−1=36−325+2−1=3327−1\frac{25(\frac{36}{25}) - 3}{36(\frac{25}{36}) + 2} - 1 = \frac{36 - 3}{25 + 2} - 1 = \frac{33}{27} - 136(3625​)+225(2536​)−3​−1=25+236−3​−1=2733​−1

अंतिम गणना

भिन्न $\frac{33}{27} = \frac{11}{9}$ को सरल करें और 1 घटाएं: $\frac{11}{9} - 1 = \frac{2}{9}$

11−99=29\frac{11 - 9}{9} = \frac{2}{9}911−9​=92​

✅

B सही है क्योंकि व्यंजक का मूल्यांकन परिणाम 2/9 है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ बीजगणितीय सरलीकरण व्युत्क्रम अनुपात

💡 EXAM TIP

$\cos \theta$ से विभाजित करने वाली समान तकनीकों का उपयोग अक्सर $\sin \theta$ और $\cos \theta$ के योग/अंतर वाले समस्याओं में उन्हें $\tan \theta$ रूप में बदलने के लिए किया जाता है।

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