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MathematicsTrigonometry

3521 Δ PQR में, ∠Q = 90° है। यदि tanR = 1/3 है, तो 1 + secP(3cosR - sinP) / cosecR (4sinR - cos P) का मान क्या होगा:

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा प्रतिस्थापनMathematicsTrigonometry

Quick Summary:

1, 3 भुजाओं और कर्ण $\sqrt{10}$ वाले एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करें। व्यंजक में सीधे $\sin P = \frac{3}{\sqrt{10}}$ , $\cos P = \frac{1}{\sqrt{10}}$ , $\sin R = \frac{1}{\sqrt{10}}$ , और $\cos R = \frac{3}{\sqrt{10}}$ प्रतिस्थापित करें।

📐MAMath Solutionसीधा प्रतिस्थापन

📋 Given

त्रिभुज PQR में, कोण Q = 90 डिग्री और tan R = 1/3 है।

🔢 Formula Used

tan⁡R=PQQR=13\tan R = \frac{PQ}{QR} = \frac{1}{3}tanR=QRPQ​=31​, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1sin2θ+cos2θ=1

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर $\angle P$ और $\angle R$ के लिए भुजाओं को बदल देते हैं, जिससे विपरीत (opposite) और आसन्न (adjacent) भुजाओं में भ्रम हो जाता है।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

त्रिभुज की भुजाओं को परिभाषित करें

चूँकि $\tan R = \frac{PQ}{QR} = \frac{1}{3}$ है, मान लें $PQ = 1$ और $QR = 3$ है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, कर्ण $PR = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ है।

PR=10PR = \sqrt{10}PR=10​

त्रिकोणमितीय अनुपात निर्धारित करें

कोण P और R के लिए अनुपात ज्ञात करें: $\sin P = \frac{QR}{PR} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ , $\cos P = \frac{PQ}{PR} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ , $\sin R = \frac{PQ}{PR} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ , और $\cos R = \frac{QR}{PR} = \frac{3}{\sqrt{10}}$ । साथ ही, $\sec P = \frac{PR}{PQ} = \sqrt{10}$ और $\csc R = \frac{PR}{PQ} = \sqrt{10}$ है।

sec⁡P=10,csc⁡R=10\sec P = \sqrt{10}, \csc R = \sqrt{10}secP=10​,cscR=10​

व्यंजक को प्रतिस्थापित और सरल करें

व्यंजक $1 + \frac{\sec P (3 \cos R - \sin P)}{\csc R (4 \sin R - \cos P)}$ है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 + \frac{\sqrt{10}(3(\frac{3}{\sqrt{10}}) - \frac{3}{\sqrt{10}})}{\sqrt{10}(4(\frac{1}{\sqrt{10}}) - \frac{1}{\sqrt{10}})} = 1 + \frac{3(\frac{3}{\sqrt{10}}) - \frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{4}{\sqrt{10}} - \frac{1}{\sqrt{10}}} = 1 + \frac{\frac{9-3}{\sqrt{10}}}{\frac{4-1}{\sqrt{10}}} = 1 + \frac{6}{3} = 1 + 2 = 3$ ।

1+2=31 + 2 = 31+2=3

✅

D सही है क्योंकि त्रिभुज की भुजाओं से प्राप्त त्रिकोणमितीय मानों का चरण-दर-चरण प्रतिस्थापन 3 का अंतिम मान देता है।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमिति समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय

💡 EXAM TIP

जब अलग-अलग कोणों (जैसे P और R) के त्रिकोणमितीय अनुपात मिश्रित होते हैं, तो संकेत त्रुटियों से बचने के लिए हमेशा त्रिभुज को स्पष्ट रूप से चित्रित करें।

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