Branch-Node incidance matrices (शाखा-नोड आपतन आव्यूह) दर्शाते हैं

Question

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A: नोड के लिए शाखाओं का आपतन (Incidance)

Explanation & Concepts:
एक Branch-Node Incidence Matrix (शाखा-नोड आपतन आव्यूह), जिसे $A$ के रूप में दर्शाया जाता है, एक विद्युत नेटवर्क की कनेक्टिविटी का गणितीय निरूपण है। यह शाखाओं और नोड्स के बीच संबंध को रिकॉर्ड करता है जहाँ तत्व $a_{ij}$ का मान $+1$ होता है यदि शाखा $j$ नोड $i$ से बाहर निकलती है, $-1$ यदि यह नोड $i$ में प्रवेश करती है, और $0$ यदि वे जुड़े नहीं हैं।

Working Principle: यह आव्यूह नेटवर्क के एक ग्राफ का विश्लेषण करके बनाया जाता है जहाँ किनारे (edges) शाखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और शीर्ष (vertices) नोड्स का प्रतिनिधित्व करते हैं। $n$ नोड्स और $b$ शाखाओं वाले ग्राफ के लिए, आव्यूह का आकार $n 	imes b$ होता है। प्रत्येक कॉलम एक शाखा का प्रतिनिधित्व करता है और Kirchhoff's Current Law ($KCL$) को $\sum I = 0$ के रूप में संतुष्ट करने के लिए इसमें ठीक एक $+1$ और एक $-1$ होना चाहिए।

Key Formulas: $A \cdot I_{b} = 0$ — एक नेटवर्क के लिए मैट्रिक्स रूप में Kirchhoff के करंट लॉ को दर्शाता है, जहाँ $I_{b}$ शाखा करंट वेक्टर है।; $V_{n} = A^{T} \cdot V_{b}$ — नोड वोल्टेज $V_{n}$ को शाखा वोल्टेज $V_{b}$ से संबंधित करता है।

Key Points: आव्यूह A का आयाम $n 	imes b$ है जहाँ $n$ नोड्स की संख्या है और $b$ शाखाओं की संख्या है।; एक जुड़े हुए ग्राफ के लिए आपतन आव्यूह की कोटि (rank) $n-1$ होती है।; प्रत्येक कॉलम एक शाखा के अनुरूप होता है, जिसमें केवल दो गैर-शून्य प्रविष्टियाँ होती हैं (एक स्रोत नोड और एक सिंक नोड)।

Advantages: बड़ी विद्युत प्रणालियों के लिए नेटवर्क समीकरणों को तैयार करने की व्यवस्थित विधि।; Gauss-Jordan विलोपन जैसे एल्गोरिदम का उपयोग करके कंप्यूटर-एडेड विश्लेषण के लिए आसानी से प्रोग्राम योग्य।

Disadvantages: नेटवर्क के पूर्ण ग्राफ मॉडल के निर्माण की आवश्यकता होती है।; बड़ी पावर ग्रिड के लिए आव्यूह विरल (sparse) हो जाता है, जिसके लिए विशेष भंडारण तकनीकों की आवश्यकता होती है।

Applications: लोड फ्लो अध्ययन; शॉर्ट सर्किट विश्लेषण; विद्युत प्रणालियों में अवस्था अनुमान (State estimation)

Additional Info: आपतन आव्यूह के किसी भी कॉलम में तत्वों का योग शून्य होता है।. विकल्प B अवधारणात्मक रूप से उल्टा है; ग्राफ सिद्धांत टोपोलॉजी की औपचारिक परिभाषा में नोड्स शाखाओं पर 'आपतित' नहीं होते हैं।

Answer: A सही है — शाखा-नोड आपतन आव्यूह विशिष्ट नेटवर्क नोड्स के सापेक्ष शाखाओं के अभिविन्यास को मैप करके टोपोलॉजी को परिभाषित करता है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि आव्यूह $n 	imes b$ है। यदि आपको अपने आव्यूह को सत्यापित करने की आवश्यकता है, तो सुनिश्चित करें कि प्रत्येक कॉलम का योग हमेशा शून्य हो, जो KCL संरक्षण बाधा की पुष्टि करता है।

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Option B: शाखाओं के लिए नोड का आपतन (Incidance)

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Option C: सभी शाखाओं का आपतन (Incidance)

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Option D: उपरोक्त में से कोई नहीं

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