ElectricalPower System

ब्रांच-नोड इंसिडेंस मैट्रिक्स (branch-node incidence matrix) की विमा (dimension) क्या है (b=ब्रांच की संख्या, n=नोड की संख्या, l=लिंक की संख्या)

$b \times l$

$b \times n$

$b \times l \times n$

$2b - n$

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा और सिद्धांतElectricalPower System

$b \times n$

Quick Summary:

ब्रांच-नोड इंसिडेंस मैट्रिक्स ( $A$ ) एक ग्राफ की कनेक्टिविटी का वर्णन करता है, यह दर्शाते हुए कि कौन सी ब्रांच किस नोड से जुड़ी है। इसमें $b$ पंक्तियाँ हैं जो ब्रांच को दर्शाती हैं और $n$ कॉलम हैं जो नोड को दर्शाते हैं, जिससे विमा $b \times n$ प्राप्त होती है।

⚙️TETechnical Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$A = [a_{ij}]_{b \times n}$ — इंसिडेंस मैट्रिक्स की विमाओं की परिभाषा जहाँ $i$ ब्रांच इंडेक्स है और $j$ नोड इंडेक्स है।

⚙️ Working Principle

इंसिडेंस मैट्रिक्स में, प्रत्येक कॉलम एक नोड के अनुरूप होता है और प्रत्येक पंक्ति एक ब्रांच के अनुरूप होती है। यदि ब्रांच $b_k$ नोड $n_j$ से जुड़ी है, तो संबंधित प्रविष्टि $+1$ होगी यदि ब्रांच करंट नोड से दूर निर्देशित है, $-1$ यदि नोड की ओर निर्देशित है, और $0$ यदि वे जुड़े नहीं हैं। चूँकि इसमें $b$ ब्रांच और $n$ नोड हैं, इसलिए परिणामी मैट्रिक्स का आकार इन दो मापदंडों द्वारा सख्ती से परिभाषित होता है।

📌 Key Points

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इंसिडेंस मैट्रिक्स का उपयोग किरचॉफ के करंट लॉ (KCL) को मैट्रिक्स रूप में लिखने के लिए किया जाता है: $A^T i = 0$ ।
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रिड्यूस्ड इंसिडेंस मैट्रिक्स (एक नोड को संदर्भ के रूप में हटाकर) की रैंक $n-1$ होती है।
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मानक इंसिडेंस मैट्रिक्स में प्रत्येक पंक्ति में ठीक दो गैर-शून्य प्रविष्टियाँ (एक +1 और एक -1) होती हैं।

✅ Advantages

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नेटवर्क समीकरणों को तैयार करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।
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पावर नेटवर्क के कंप्यूटर-एडेड विश्लेषण के लिए आवश्यक है।

❌ Disadvantages / Limitations

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परिणामस्वरूप एक स्पार्स (sparse) मैट्रिक्स प्राप्त होता है, जो बहुत बड़े नेटवर्क के लिए कुशलतापूर्वक प्रबंधित न किए जाने पर मेमोरी-गहन हो सकता है।
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समीकरणों का रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट प्राप्त करने के लिए एक संदर्भ नोड की पहचान करने की आवश्यकता होती है।

🛠️ Applications / Uses

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पावर सिस्टम स्टेट एस्टिमेशन।
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लोड फ्लो अध्ययन।
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कट-सेट और टाई-सेट मैट्रिक्स तैयार करना।

📄 Additional Information

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नोट: रिड्यूस्ड इंसिडेंस मैट्रिक्स (जो अक्सर नोडल विश्लेषण में उपयोग किया जाता है) की विमा संदर्भ नोड को हटाने के बाद $b \times (n-1)$ होती है।
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विकल्प A गलत है क्योंकि यह लिंक ( $l$ ) से संबंधित है, विकल्प C एक 3D टेंसर का तात्पर्य है, और विकल्प D ट्री/को-ट्री ब्रांच से संबंधित है।

📊 Diagram / Illustration

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B सही है — ब्रांच-नोड इंसिडेंस मैट्रिक्स $b$ ब्रांच और $n$ नोड के बीच टोपोलॉजिकल कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करता है, जिसके परिणामस्वरूप $b \times n$ मैट्रिक्स प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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नेटवर्क टोपोलॉजी इंसिडेंस मैट्रिक्स विद्युत सर्किट में ग्राफ सिद्धांत

💡 EXAM TIP

याद रखें कि किसी भी जुड़े हुए ग्राफ में, ब्रांच $b$ , नोड $n$ , और लिंक $l$ की संख्या $l = b - n + 1$ से संबंधित होती है, जो स्वतंत्र लूपों की संख्या की गणना के लिए आवश्यक है।

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