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CivilAdvanced Survey

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यदि वक्र की त्रिज्या 250 m दी गई है और ऑफसेट का स्थान 15 m पर है, तो लंबवत ऑफसेट (perpendicular offset) ज्ञात कीजिए।

A) $55\text{ m}$

B) $45\text{ m}$

C) $40\text{ m}$

D) $50\text{ m}$

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा एवं सिद्धांतCivilAdvanced Survey

$45\text{ m}$

Quick Summary:

स्पर्शरेखा के साथ दी गई दूरी पर एक साधारण वृत्ताकार वक्र की स्पर्शरेखा से लंबवत ऑफसेट की गणना पाइथागोरस प्रमेय से व्युत्पन्न सटीक सूत्र $O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$ का उपयोग करके, या अनुमानित सूत्र $O_x \approx \frac{x^2}{2R}$ का उपयोग करके की जा सकती है। दिए गए मानों $R = 250\text{ m}$ और $x = 15\text{ m}$ के लिए, लंबवत ऑफसेट लगभग $0.45\text{ m} $है। विकल्पों पर विचार करते हुए, विकल्प B ($ 45\text{ cm} $या \$ 0.45\text{ m} $)$ 45\text{ cm} $को दर्शाता है जिसे परीक्षा के प्रश्नों में एक मानक टाइपो के कारण$ 45\text{ m}$ लिखा गया है।

⚙️TETechnical Solutionअवधारणा एवं सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$O_x = R - \sqrt{R^2 - x^2}$ — स्पर्शरेखा से लंबवत ऑफसेट के लिए सटीक सूत्र

$O_x \approx \frac{x^2}{2R}$ — स्पर्शरेखा से लंबवत ऑफसेट के लिए अनुमानित सूत्र

$O_r = \sqrt{R^2 + x^2} - R$ — स्पर्शरेखा से रेडियल ऑफसेट के लिए सटीक सूत्र

⚙️ Working Principle

स्पर्शरेखा ऑफसेट का उपयोग करके वृत्ताकार वक्रों को निर्धारित करने में, वक्र के केंद्र, वक्र प्रारंभ बिंदु, और स्पर्शरेखा पर स्थित बिंदु द्वारा एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, ऑफसेट दूरी $x$ पर केंद्र से स्पर्शरेखा तक की दूरी रेडियल ऑफसेट के लिए $\sqrt{R^2 + x^2}$ होती है, या स्पर्शरेखा के लंबवत ऑफसेट $R - \sqrt{R^2 - x^2}$ से प्राप्त होता है। जब $x \ll R$ होता है, तो द्विपद विस्तार से $O_x \approx \frac{x^2}{2R}$ प्राप्त होता है।

📌 Key Points

▸
लंबवत ऑफसेट को वक्र बिंदु (PC) से $x$ दूरी पर स्पर्शरेखा रेखा के समकोण (right angles) पर मापा जाता है।
▸
जब $x$ , $R$ से काफी छोटा होता है, तो अनुमानित सूत्र $O_x = \frac{x^2}{2R}$ नगण्य त्रुटि के साथ परिणाम देता है।

✅ Advantages

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केवल टेप और चेन का उपयोग करके क्षेत्र में गणना करना और निर्धारित करना सरल है।
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छोटे वक्रों के लिए थियोडोलाइट जैसे कोणीय माप उपकरणों की आवश्यकता नहीं होती है।

❌ Disadvantages / Limitations

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लंबे वक्रों के लिए उपयुक्त नहीं है क्योंकि दूरी $x$ के साथ संचयी त्रुटियां बढ़ जाती हैं।
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स्पर्शरेखा रेखा के लंबवत दृष्टि की स्पष्ट रेखा (clear line of sight) की आवश्यकता होती है।

🛠️ Applications / Uses

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कम लंबाई में राजमार्ग और रेलवे इंजीनियरिंग में तीव्र वृत्ताकार वक्रों को निर्धारित करना।
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साइट सर्वेक्षणों में वृत्ताकार सीमा दीवारों या कर्ब का लेआउट तैयार करना।

📄 Additional Information

▸
$O_x = \frac{x^2}{2R}$ में $x = 15\text{ m}$ और $R = 250\text{ m}$ प्रतिस्थापित करने पर $O_x = \frac{225}{500} = 0.45\text{ m} = 45\text{ cm}$ प्राप्त होता है। पारंपरिक परीक्षा संदर्भों में, $0.45\text{ m} $को विकल्प B ($ 45\text{ cm} $/ गलत प्रिंट के रूप में$ 45\text{ m}$) द्वारा दर्शाया जाता है।
▸
विकल्प A ( $55\text{ m}$ ), विकल्प C ( $40\text{ m}$ ), और विकल्प D ( $50\text{ m}$ ) $\frac{x^2}{2R}$ के मान से मेल नहीं खाते हैं।

📊 Diagram / Illustration

✅

B सही है — अनुमानित ऑफसेट सूत्र $O_x = \frac{x^2}{2R}$ का उपयोग करने पर, परिकलित लंबवत ऑफसेट $\frac{15^2}{2 \times 250} = 0.45\text{ m}$ ( $45\text{ cm}$ ) है।

Core Concepts Used

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साधारण वृत्ताकार वक्र (Simple Circular Curve) स्पर्शरेखा से ऑफसेट (Offsets from Tangent) वक्र निर्धारित करने की रैखिक विधियाँ (Linear Methods of Setting Out Curves)

💡 EXAM TIP

वक्र के आंकिक प्रश्नों में हमेशा इकाई की संगति (मीटर बनाम सेंटीमीटर) की जाँच करें क्योंकि परीक्षा के विकल्पों में अक्सर त्रिज्या और दूरी मीटर में देते हुए ऑफसेट मानों को सेमी में व्यक्त किया जाता है।

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