चुंबकीय सदिश विभव (magnetic vector potential) की प्रवणता (gradient) है

Question

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A: $-\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t}$

Explanation & Concepts:
मैक्सवेल के समीकरणों में लोरेंत्ज़ गेज स्थिति (Lorenz gauge condition) के माध्यम से अदिश विभव की प्रवणता और चुंबकीय सदिश विभव का समय अवकलज आपस में जुड़े होते हैं। विशेष रूप से, संबंध $
abla \cdot \mathbf{A} = -\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t}$ उस स्थिति से उत्पन्न होता है जो विद्युत चुम्बकीय विभवों के लिए तरंग समीकरणों को अलग (decouple) करने के लिए आवश्यक है।

Working Principle: समय-परिवर्ती विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों में, विद्युत क्षेत्र को $\mathbf{E} = -
abla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। विषम (inhomogeneous) तरंग समीकरणों को संतुष्ट करने के लिए, लोरेंत्ज़ गेज $
abla \cdot \mathbf{A} + \mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} = 0$ को लागू किया जाता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $
abla \cdot \mathbf{A} = -\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t}$ प्राप्त होता है, जो गतिशील प्रणालियों में विभवों की गणना को सरल बनाता है।

Key Formulas: $
abla \cdot \mathbf{A} = -\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t}$ — लोरेंत्ज़ गेज स्थिति; $\mathbf{E} = -
abla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ — विभवों के पदों में विद्युत क्षेत्र की परिभाषा

Key Points: लोरेंत्ज़ गेज का उपयोग मैक्सवेल के समीकरणों को $V$ और $\mathbf{A}$ के लिए तरंग समीकरणों में सरल बनाने के लिए किया जाता है।; यह आवेश और धारा घनत्व के लिए निरंतरता समीकरण (continuity equation) को संतुष्ट करता है।; अदिश विभव $V$ और सदिश विभव $\mathbf{A}$ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं हैं, जिससे गेज स्वतंत्रता (gauge freedom) प्राप्त होती है।; स्थिर क्षेत्रों में, $\frac{\partial}{\partial t} = 0$ होता है, जो व्यंजक को कूलम्ब गेज स्थिति $
abla \cdot \mathbf{A} = 0$ में कम कर देता है।

Advantages: विभव तरंग समीकरणों को अलग (decouple) करता है; निरंतरता समीकरण के साथ स्थिरता सुनिश्चित करता है

Disadvantages: अदिश और सदिश दोनों विभवों के लिए समाधान की आवश्यकता होती है; चुने गए गेज के लिए विशिष्ट

Applications: विद्युत चुम्बकीय तरंग प्रसार; एंटीना सिद्धांत; विकिरण प्रणालियाँ

Additional Info: यह संबंध इस आवश्यकता से प्राप्त होता है कि अदिश और सदिश विभव निर्वात या सजातीय माध्यम में तरंग समीकरणों को संतुष्ट करें।. विकल्प B, C, और D सदिश विभव गेज आवश्यकताओं के साथ आयामी या भौतिक रूप से असंगत हैं।

Answer: A सही है — चुंबकीय सदिश विभव का डाइवर्जेंस लोरेंत्ज़ गेज स्थिति $
abla \cdot \mathbf{A} = -\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t}$ के माध्यम से अदिश विभव के समय अवकलज से संबंधित है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि लोरेंत्ज़ गेज तरंग समीकरणों ($\mu \epsilon$ से जुड़े) के लिए प्राथमिकता दी जाती है, जबकि कूलम्ब गेज इलेक्ट्रोस्टैटिक्स (जहाँ $
abla \cdot \mathbf{A} = 0$ है) के लिए प्राथमिकता दी जाती है।

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Option B: $\mu \epsilon \frac{\partial E}{\partial t}$

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Option C: $-\mu \epsilon \frac{\partial A}{\partial t}$

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Option D: $\mu \epsilon \frac{\partial B}{\partial t}$

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