यदि किसी पिंड का वेग v, v = at + bt^2 द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ a और b स्थिरांक हैं, तो b की विमाएँ ____________ हैं।

The correct answer is C: $[LT^{-3}]$. विमाओं की समांगता (Principle of Homogeneity) के सिद्धांत के अनुसार, एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए। चूँकि दिया गया समीकरण $v = at + bt^2$ है, इसलिए पद $bt^2$ की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। Step-by-Step Solution & Concepts: विमाओं की समांगता (Principle of Homogeneity) के सिद्धांत के अनुसार, एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए। चूँकि दिया गया समीकरण $v = at + bt^2$ है, इसलिए पद $bt^2$ की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए। Working Principle: यह सिद्धांत बताता है कि हम केवल उन्हीं भौतिक राशियों को जोड़ या घटा सकते हैं जिनकी विमाएँ समान हों। यह देखते हुए कि वेग $v$ की विमा $[LT^{-1}]$ है, अलग-अलग घटकों $at$ और $bt^2$ की विमा भी $[LT^{-1}]$ होनी चाहिए। इसलिए, $[bt^2] = [LT^{-1}]$ निर्धारित करके, हम $[b]$ को इस प्रकार निकाल सकते हैं: $[b] = [LT^{-1}] / [T^2] = [LT^{-3}]$। Key Formulas: $[v] = [LT^{-1}]$ — वेग की विमाएँ; $[bt^2] = [LT^{-1}]$ — पद $bt^2$ पर लागू समांगता का सिद्धांत; $[b] = [LT^{-3}]$ — स्थिरांक b की व्युत्पन्न विमाएँ Key Points: समांगता का सिद्धांत भौतिक समीकरणों की निरंतरता के लिए एक मौलिक आवश्यकता है।; भौतिक राशियों को जोड़ने या घटाने के लिए उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।; विमीय विश्लेषण भौतिक सूत्रों की शुद्धता की जाँच करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। Advantages: समीकरण की विमीय स्थिरता की जाँच करने में मदद करता है।; भौतिक राशियों के बीच संबंधों को व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है। Disadvantages: विमाहीन स्थिरांकों का निर्धारण नहीं कर सकता।; अदिश या सदिश प्रकृति की उपस्थिति का पता नहीं चलता है। Applications: भौतिकी के समीकरणों की वैधता की जाँच करना।; भौतिक राशियों को एक इकाई प्रणाली से दूसरी प्रणाली में बदलना। Additional Info: स्थिरांक $a$ की विमा $[LT^{-2}]$ होगी, जो त्वरण को दर्शाती है।. विकल्प A $[LT^{-1}]$ वेग की विमा है।. विकल्प B $[L]$ लंबाई की विमा है।. विकल्प D $[LT^{-2}]$ त्वरण की विमा है। Answer: C सही है — समांगता के सिद्धांत के आधार पर, $[bt^2]$ की विमा वेग $[LT^{-1}]$ की विमा के बराबर होनी चाहिए, जो सरल होकर $[LT^{-3}]$ हो जाती है। Exam Tip: हमेशा सुनिश्चित करें कि विभाजन में T की घात की गणना सही ढंग से की गई है: $T^2$ से विभाजित करने का अर्थ है घातांक को घटाना, इसलिए $-1 - 2 = -3$।

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General SciencePhysics: Mechanics

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यदि किसी पिंड का वेग v, v = at + bt² द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ a और b स्थिरांक हैं, तो b की विमाएँ ____________ हैं।

$[LT^{-1}]$

$[L]$

$[LT^{-3}]$

$[LT^{-2}]$

Correct Answer

🔬 SC • Science अवधारणा और सिद्धांतGeneral SciencePhysics: Mechanics

$[LT^{-3}]$

Quick Summary:

विमाओं की समांगता (Principle of Homogeneity) के सिद्धांत के अनुसार, एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए। चूँकि दिया गया समीकरण $v = at + bt^2$ है, इसलिए पद $bt^2$ की विमा वेग $v$ की विमा के बराबर होनी चाहिए।

🔬SCScience Solutionअवधारणा और सिद्धांत

💡 Explanation

💡 Everyday Analogy (Real-World Intuition)

इसे फलों को जोड़ने की तरह समझें; आप सेब में सेब जोड़ सकते हैं, लेकिन आप सेब में मीटर नहीं जोड़ सकते क्योंकि वे अलग-अलग 'भौतिक' प्रकारों का प्रतिनिधित्व करते हैं। विमीय रूप से, बराबर चिह्न के दोनों ओर की हर चीज़ एक ही भौतिक राशि का प्रतिनिधित्व करनी चाहिए।

🧠 Memory Mnemonic / Shortcut Aid

HOMO: Homogeneity Of Measurements means Only like terms add. (माप की समांगता का अर्थ है कि केवल समान पदों को जोड़ा जाता है।)

🔢 Key Formulas

$[v] = [LT^{-1}]$ — वेग की विमाएँ

$[bt^2] = [LT^{-1}]$ — पद $bt^2$ पर लागू समांगता का सिद्धांत

$[b] = [LT^{-3}]$ — स्थिरांक b की व्युत्पन्न विमाएँ

⚙️ Working Principle

यह सिद्धांत बताता है कि हम केवल उन्हीं भौतिक राशियों को जोड़ या घटा सकते हैं जिनकी विमाएँ समान हों। यह देखते हुए कि वेग $v$ की विमा $[LT^{-1}]$ है, अलग-अलग घटकों $at$ और $bt^2$ की विमा भी $[LT^{-1}]$ होनी चाहिए। इसलिए, $[bt^2] = [LT^{-1}]$ निर्धारित करके, हम $[b]$ को इस प्रकार निकाल सकते हैं: $[b] = [LT^{-1}] / [T^2] = [LT^{-3}]$ ।

📌 Key Points

▸
समांगता का सिद्धांत भौतिक समीकरणों की निरंतरता के लिए एक मौलिक आवश्यकता है।
▸
भौतिक राशियों को जोड़ने या घटाने के लिए उनकी विमाएँ समान होनी चाहिए।
▸
विमीय विश्लेषण भौतिक सूत्रों की शुद्धता की जाँच करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।

✅ Advantages

▸
समीकरण की विमीय स्थिरता की जाँच करने में मदद करता है।
▸
भौतिक राशियों के बीच संबंधों को व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है।

❌ Disadvantages / Limitations

▸
विमाहीन स्थिरांकों का निर्धारण नहीं कर सकता।
▸
अदिश या सदिश प्रकृति की उपस्थिति का पता नहीं चलता है।

🛠️ Applications / Uses

▸
भौतिकी के समीकरणों की वैधता की जाँच करना।
▸
भौतिक राशियों को एक इकाई प्रणाली से दूसरी प्रणाली में बदलना।

📄 Additional Information

▸
स्थिरांक $a$ की विमा $[LT^{-2}]$ होगी, जो त्वरण को दर्शाती है।
▸
विकल्प A $[LT^{-1}]$ वेग की विमा है।
▸
विकल्प B $[L]$ लंबाई की विमा है।
▸
विकल्प D $[LT^{-2}]$ त्वरण की विमा है।

📊 Diagram / Illustration

✅

C सही है — समांगता के सिद्धांत के आधार पर, $[bt^2]$ की विमा वेग $[LT^{-1}]$ की विमा के बराबर होनी चाहिए, जो सरल होकर $[LT^{-3}]$ हो जाती है।

Core Concepts Used

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विमीय विश्लेषण समांगता का सिद्धांत गतिकी (Kinematics)

💡 EXAM TIP

हमेशा सुनिश्चित करें कि विभाजन में T की घात की गणना सही ढंग से की गई है: $T^2$ से विभाजित करने का अर्थ है घातांक को घटाना, इसलिए $-1 - 2 = -3$ ।

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