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MathematicsSet Theory

यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X ∪ Y में 56 अवयव हैं, X में 45 अवयव हैं और Y में 33 अवयव हैं, तो X ∩ Y में कितने अवयव हैं?

Correct Answer

📐 MA • Math सीधा सूत्रMathematicsSet Theory

Quick Summary:

बस दोनों अलग-अलग समुच्चयों को जोड़ें और संघ को घटा दें: (45 + 33) - 56। परिणाम 78 - 56 = 22 है।

📐MAMath Solutionसीधा सूत्र

📋 Given

संघ (union) में कुल अवयव n(X ∪ Y) = 56, समुच्चय X में अवयव n(X) = 45, समुच्चय Y में अवयव n(Y) = 33।

🔢 Formula Used

n(X∪Y)=n(X)+n(Y)−n(X∩Y)n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)n(X∪Y)=n(X)+n(Y)−n(X∩Y)

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर अलग-अलग समुच्चयों (45 + 33 = 78) को जोड़ देते हैं और इसे ही उत्तर समझ लेते हैं, और उभयनिष्ठ (overlapping) अवयवों को शामिल करने के लिए संघ को घटाना भूल जाते हैं।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

दिए गए मानों की पहचान करें

हमें समुच्चय X में अवयवों की संख्या $n(X) = 45$ , समुच्चय Y में $n(Y) = 33$ , और उनका संघ $n(X \cup Y) = 56$ दिया गया है।

n(X)=45,n(Y)=33,n(X∪Y)=56n(X) = 45, n(Y) = 33, n(X \cup Y) = 56n(X)=45,n(Y)=33,n(X∪Y)=56

समुच्चय सिद्धांत सूत्र लागू करें

सर्वनिष्ठ (intersection) $n(X \cap Y)$ ज्ञात करने के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (inclusion-exclusion principle) का उपयोग करें।

n(X∩Y)=n(X)+n(Y)−n(X∪Y)n(X \cap Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cup Y)n(X∩Y)=n(X)+n(Y)−n(X∪Y)

परिणाम की गणना करें

दिए गए मानों को सूत्र में रखें: $45 + 33 - 56$ ।

n(X∩Y)=78−56=22n(X \cap Y) = 78 - 56 = 22n(X∩Y)=78−56=22

✅

B सही है क्योंकि समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत लागू करने पर दोनों समुच्चयों में 22 अवयव उभयनिष्ठ (common) प्राप्त होते हैं।

Core Concepts Used

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समुच्चय सिद्धांत समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत वेन आरेख

💡 EXAM TIP

यह अवधारणा वेन आरेख से जुड़े डेटा व्याख्या के प्रश्नों के लिए मौलिक है और प्रायिकता की समस्याओं में अक्सर पूछी जाती है जहाँ उभयनिष्ठ नमूना समष्टि (overlapping sample spaces) की गणना आवश्यक होती है।

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