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△ABC में, यदि ∠A=2∠B और ∠B=3∠C है, तो ∠A का माप क्या है?
90 डिग्री
100 डिग्री
108 डिग्री
120 डिग्री
108 डिग्री
सभी कोणों को ∠C के संदर्भ में व्यक्त करें (माना ∠C=x)। तब ∠B=3x और ∠A=2(3x)=6x होगा। x ज्ञात करने के लिए 6x+3x+x=180° को हल करें।
त्रिभुज ABC में, कोण A, कोण B का दोगुना है और कोण B, कोण C का तीन गुना है।
∠A+∠B+∠C=180°
सभी कोणों को ∠C के संदर्भ में व्यक्त करें (माना ∠C=x)। तब ∠B=3x और ∠A=2(3x)=6x होगा। x ज्ञात करने के लिए 6x+3x+x=180° को हल करें।
छात्र अक्सर ∠A=2∠B और ∠B=3∠C को सीधे ∠A=2∠B=6∠C समझ लेते हैं, बिना ट्रांजिटिव गुणन (transitive multiplication) किए।
कोणों को एक एकल चर के रूप में परिभाषित करें
माना ∠C=x है। चूँकि ∠B=3∠C दिया गया है, हमारे पास ∠B=3x है। चूँकि ∠A=2∠B दिया गया है, ∠B=3x प्रतिस्थापित करने पर हमें ∠A=2(3x)=6x प्राप्त होता है।
∠C=x,∠B=3x,∠A=6x
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म को लागू करें
त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। x के लिए अपने व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 6x+3x+x=180° प्राप्त होता है।
6x+3x+x=180°
x के लिए हल करें
पदों को जोड़ने पर 10x=180° प्राप्त होता है, इसलिए x=18° है।
10x=180°⟹x=18°
कोण A का अंतिम मान ज्ञात करें
चूँकि ∠A=6x है, मान ज्ञात करने के लिए x=18° प्रतिस्थापित करें।
∠A=6×18°=108°
C सही है क्योंकि कोणों की गणना क्रमशः 108 डिग्री, 54 डिग्री और 18 डिग्री है, जिनका योग 180 डिग्री होता है।
यह चर-प्रतिस्थापन तकनीक समन्वय ज्यामिति (Coordinate Geometry) और अंकगणित अध्यायों जैसे मिश्रण और एलिगेशन (Mixture and Alligation) में अनुपात-आधारित समस्याओं को हल करने के लिए मौलिक है।