किस वक्र (curve) में एक ही दिशा (origin) में अलग-अलग त्रिज्याएँ (radius) होती हैं?

Question

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B: यौगिक वक्र (Compound)

Explanation & Concepts:
एक यौगिक वक्र (compound curve) में विभिन्न त्रिज्याओं के दो या अधिक साधारण वृत्ताकार चाप होते हैं जो अपनी संधि बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा के साथ एक ही दिशा में मुड़ते हैं, लेकिन उनके वक्रता केंद्र (origin) अलग-अलग होते हैं। इस प्रकार, इसमें सामान्य स्पर्शरेखा के एक ही तरफ स्थित विभिन्न केंद्र बिंदुओं से निकलने वाली विभिन्न त्रिज्याएँ होती हैं।

Working Principle: राजमार्ग और रेलवे संरेखण (alignment) में, इलाके या संपत्ति की सीमाओं में परिवर्तन अक्सर एक एकल वृत्ताकार वक्र के उपयोग को रोकते हैं। एक यौगिक वक्र एक ही दिशा में मुड़ने वाली अलग-अलग त्रिज्याओं ($R_1$ और $R_2$) के चापों को मिलाकर दो स्पर्शरेखाओं के बीच एक क्रमिक संक्रमण प्राप्त करता है, जहाँ $R_1 
eq R_2$ होता है।

Key Formulas: $R_1, R_2$ — दो वृत्ताकार चापों की त्रिज्याएँ ($R_1 
eq R_2$); $\Delta = \Delta_1 + \Delta_2$ — यौगिक वक्र का कुल विचलन कोण (deflection angle); $T_L, T_S$ — लंबी स्पर्शरेखा और छोटी स्पर्शरेखा की लंबाइयाँ

Key Points: एक यौगिक वक्र अपनी पूरी लंबाई के दौरान एक ही दिशा में मुड़ता है।; इसके दो अलग-अलग वक्रता केंद्र ($O_1$ और $O_2$) और दो अलग-अलग त्रिज्याएँ ($R_1$ और $R_2$) होती हैं।; जिस बिंदु पर दोनों चाप मिलते हैं, उसे यौगिक वक्रता बिंदु (Point of Compound Curvature - PCC) कहा जाता है।

Advantages: कठिन स्थलाकृतिक बाधाओं के माध्यम से संरेखण स्थापित करने में लचीलापन प्रदान करता है।; एक लंबे साधारण वक्र की तुलना में अत्यधिक कटाई/भराई (cutting/filling) से बचाता है।

Disadvantages: क्षेत्र (field) पर सर्वेक्षण, लेआउट और अंकन (stake out) करना अधिक कठिन है।; सुचारू वाहन आवाजाही के लिए PCC पर सुपरइलेवेशन परिवर्तनों के सावधानीपूर्वक डिजाइन की आवश्यकता होती है।

Applications: पहाड़ी क्षेत्रों के सड़क संरेखण।; रेलवे ट्रैक इंटरचेंज और टर्नआउट।; हाईवे इंटरचेंज रैंप (लूप रैंप)।

Additional Info: साधारण वक्र (Simple Curve): इसमें एक वक्रता केंद्र के साथ दो स्पर्शरेखाओं को जोड़ने वाली समान त्रिज्या का एक ही वृत्ताकार चाप होता है।. उत्क्रमणीय वक्र (Reverse Curve): इसमें विपरीत दिशाओं में मुड़ने वाले दो वृत्ताकार चाप होते हैं जिनके केंद्र सामान्य स्पर्शरेखा के विपरीत दिशा में स्थित होते हैं।. विकल्प B सही है क्योंकि एक यौगिक वक्र में एक ही दिशा में मुड़ने वाले स्वतंत्र केंद्रों/मूल बिंदुओं के साथ कई अलग-अलग त्रिज्याएँ शामिल होती हैं।

Answer: B सही है — एक यौगिक वक्र में विभिन्न त्रिज्याओं के दो या अधिक वृत्ताकार चाप होते हैं जिनके अलग-अलग मूल बिंदु (वक्रता केंद्र) एक ही दिशा में मुड़ते हैं।

Exam Tip: याद रखें: एक ही दिशा + अलग-अलग त्रिज्याएँ = यौगिक वक्र (Compound Curve); विपरीत दिशाएँ + समान या अलग-अलग त्रिज्याएँ = उत्क्रमणीय वक्र (Reverse Curve); एकल त्रिज्या = साधारण वक्र (Simple Curve)।

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Option A: साधारण वक्र (Simple)

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Option C: उत्क्रमणीय वक्र (Reverse)

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Option D: ये सभी (All of these)

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