त्रिकोणमितीय लेवलिंग (trigonometric leveling) में क्षैतिज दूरी ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित में से कौन सा समीक

Question

त्रिकोणमितीय लेवलिंग (trigonometric leveling) में क्षैतिज दूरी ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण है जब वस्तु का आधार अगम्य (inaccessible) हो और निकटतम स्टेशन दूरस्थ स्टेशन से उच्च (high) हो?

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The correct answer is D: B और C दोनों. जब किसी वस्तु का आधार अगम्य हो और वस्तु के निकट स्थित उपकरण स्टेशन दूर स्थित स्टेशन की तुलना में अधिक ऊंचाई पर हो, तो क्षैतिज दूरी $D$ को $D = \frac{(b - h_d \cot \alpha_2) 	an \alpha_2}{	an \alpha_1 - 	an \alpha_2}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस व्यंजक का विस्तार करने पर $D = \frac{b 	an \alpha_2 - h_d}{	an \alpha_1 - 	an \alpha_2}$ प्राप्त होता है, जिससे विकल्प B और विकल्प C दोनों गणितीय रूप से समान और सही हो जाते हैं।

Step-by-Step Solution & Concepts:
जब किसी वस्तु का आधार अगम्य हो और वस्तु के निकट स्थित उपकरण स्टेशन दूर स्थित स्टेशन की तुलना में अधिक ऊंचाई पर हो, तो क्षैतिज दूरी $D$ को $D = \frac{(b - h_d \cot \alpha_2) 	an \alpha_2}{	an \alpha_1 - 	an \alpha_2}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस व्यंजक का विस्तार करने पर $D = \frac{b 	an \alpha_2 - h_d}{	an \alpha_1 - 	an \alpha_2}$ प्राप्त होता है, जिससे विकल्प B और विकल्प C दोनों गणितीय रूप से समान और सही हो जाते हैं।

Working Principle: त्रिकोणमितीय लेवलिंग में, जब उपकरण स्टेशन अलग-अलग स्तरों पर होते हैं, तो दोनों उपकरण अक्षों के बीच ऊंचाई का अंतर $h_d$ ज्यामिति को प्रभावित करता है। निकट और दूर के स्टेशनों से क्रमश: मापे गए ऊर्ध्वाधर कोणों $\alpha_1$ और $\alpha_2$ का उपयोग करके युगपत समीकरण स्थापित करके, उपकरण अक्ष के ऊपर वस्तु की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई को समाप्त करके क्षैतिज दूरी $D$ को हल किया जाता है।

Key Formulas: $D = \frac{(b - h_d \cot \alpha_2) 	an \alpha_2}{	an \alpha_1 - 	an \alpha_2}$ — क्षैतिज दूरी का सूत्र जब निकटतम स्टेशन उच्च ऊंचाई पर हो; $D = \frac{b 	an \alpha_2 - h_d}{	an \alpha_1 - 	an \alpha_2}$ — क्षैतिज दूरी के लिए सरलीकृत समतुल्य व्यंजक

Key Points: $\alpha_1$ निकटतम स्टेशन A से मापा गया उन्नयन कोण है।; $\alpha_2$ दूरस्थ स्टेशन B से मापा गया उन्नयन कोण है।; $b$ उपकरण स्टेशनों A और B के बीच की क्षैतिज दूरी है।; $h_d$ स्टेशनों A और B पर उपकरण अक्षों के बीच की ऊंचाई का अंतर है।

Advantages: वस्तु के आधार तक प्रत्यक्ष पहुंच के बिना सटीक दूरी मापने की अनुमति देता है; उपकरण स्टेशनों के बीच के स्तर के अंतर को समायोजित करता है

Disadvantages: ऊर्ध्वाधर कोणों और स्टेशनों के बीच की दूरी के सटीक मापन की आवश्यकता होती है; लंबी दूरियों पर वायुमंडलीय अपवर्तन त्रुटियों के प्रति संवेदनशील है

Applications: मीनार (towers) और चिमनी जैसी अगम्य संरचनाओं की ऊंचाई निर्धारित करना; पहाड़ी या असमान भूभाग में स्थलाकृतिक सर्वेक्षण (topographical surveying)

Additional Info: विकल्प A उस स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है जहां निकटतम उपकरण स्टेशन दूरस्थ स्टेशन की तुलना में कम (LOWER) ऊंचाई पर होता है।. $(b - h_d \cot \alpha_2)$ को $	an \alpha_2$ से गुणा करने पर $b 	an \alpha_2 - h_d \cot \alpha_2 	an \alpha_2 = b 	an \alpha_2 - h_d$ प्राप्त होता है, जो दिखाता है कि B और C समान क्यों हैं।

Answer: D सही है — विकल्प B और विकल्प C दोनों समान गणितीय सूत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं जब निकटतम स्टेशन दूरस्थ स्टेशन से उच्च होता है।

Exam Tip: याद रखें कि यदि निकटतम स्टेशन कम ऊंचाई (LOWER) पर है, तो $h_d$ का चिन्ह धनात्मक ($b + h_d \cot \alpha_2$) हो जाता है। यदि उच्च (HIGHER) है, तो चिन्ह ऋणात्मक ($b - h_d \cot \alpha_2$) होता है।

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Option A: D=b+hdcotα2tanα2tanα1-tanα2

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Option B: D=b-hdcotα2tanα2tanα1-tanα2

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Option C: D=btanα2-hdtanα1-tanα2

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