निम्नलिखित में से किस स्थिति में, दो उपकरण स्टेशनों का उपयोग किया जाता है?

Question

Examoogle · Accepted Answer

D: वस्तु का आधार पहुँच से बाहर (अगम्य) है

Explanation & Concepts:
त्रिकोणमितीय समतलन (Trigonometrical levelling) में, दो उपकरण स्टेशनों की आवश्यकता तब होती है जब उस वस्तु का आधार जिसकी ऊँचाई निर्धारित की जानी है, पहुँच से बाहर (अगम्य) होता है। यह सेटअप एक ही या विभिन्न ऊर्ध्वाधर समतलों में स्थित दो अलग-अलग ज्ञात स्टेशनों से ऊर्ध्वाधर कोण को मापने की अनुमति देता है, जिससे त्रिकोणमिति सिद्धांतों का उपयोग करके वस्तु की ऊँचाई और दूरी निर्धारित करने में मदद मिलती है।

Working Principle: जब किसी ऊँची वस्तु (जैसे चिमनी या टॉवर) के आधार तक सीधे क्षैतिज दूरी मापने के लिए नहीं पहुँचा जा सकता है, तो एक ज्ञात दूरी पर दो उपकरण स्टेशन ($A$ और $B$) स्थापित किए जाते हैं। दोनों स्टेशनों से वस्तु के शीर्ष के उन्नयन कोणों को मापा जाता है। मापे गए कोणों और आधार रेखा (baseline) की लंबाई से संबंधित त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करके, क्षैतिज दूरी और सापेक्ष ऊँचाई की गणना की जाती है।

Key Formulas: $D = \frac{b \cot \alpha_2}{\cot \alpha_1 - \cot \alpha_2}$ — निकटतम स्टेशन से वस्तु की क्षैतिज दूरी जब स्टेशन एक सीधी रेखा में हों; $h = \frac{b \sin \alpha_1 \sin \alpha_2}{\sin(\alpha_1 - \alpha_2)}$ — उपकरण अक्ष के ऊपर वस्तु की ऊँचाई

Key Points: तब उपयोग किया जाता है जब किसी वस्तु के आधार की सीधी क्षैतिज दूरी मापना असंभव हो।; दो उपकरण स्टेशनों को सटीक रूप से मापी गई आधार रेखा दूरी ($b$) पर स्थापित किया जाना चाहिए।; दोनों उपकरण स्टेशनों से वस्तु के शीर्ष तक उन्नयन कोण ($\,\alpha_1\,$ और $\,\alpha_2\,$) देखे जाते हैं।; इसे एकल ऊर्ध्वाधर समतल और दोहरे ऊर्ध्वाधर समतल दोनों स्थितियों के लिए हल किया जा सकता है।

Advantages: बिना किसी प्रत्यक्ष भौतिक माप के अगम्य ऊँची वस्तुओं की ऊँचाई और दूरी निर्धारित करने की अनुमति देता है।; चर्च के शिखरों, टावरों, पहाड़ी चोटियों और चिमनियों जैसी वस्तुओं के लिए अत्यधिक सटीक।

Disadvantages: दो उपकरण स्टेशनों की स्थापना और आधार रेखा की लंबाई के सटीक माप की आवश्यकता होती है।; यदि उपकरण अक्ष अलग-अलग स्तरों पर हैं तो गणना थोड़ी जटिल हो जाती है।

Applications: ऊँची चिमनियों, टीवी टावरों और ट्रांसमिशन टावरों की ऊँचाई निर्धारित करना।; पहाड़ी इलाकों में स्थलाकृतिक सर्वेक्षण कार्य जहाँ भौतिक पहुँच बाधित होती है।

Additional Info: विकल्प A गलत है क्योंकि अनंत व्यावहारिक सर्वेक्षण स्थिति नहीं है।. विकल्प B गलत है क्योंकि आधार की सटीकता उपकरण स्टेशनों की संख्या तय नहीं करती है।. विकल्प C गलत है क्योंकि जब आधार पहुँच योग्य होता है, तो केवल एक उपकरण स्टेशन की आवश्यकता होती है क्योंकि दूरी $D$ को फीते या चेन से सीधे मापा जा सकता है।

Answer: D सही है — त्रिकोणमितीय समतलन में दो उपकरण स्टेशनों की आवश्यकता तब होती है जब लक्ष्य वस्तु का आधार अगम्य (पहुँच से बाहर) होता है, जो प्रत्यक्ष दूरी माप को रोकता है।

Exam Tip: याद रखें: जब आधार सुलभ हो तो एकल स्टेशन पर्याप्त होता है ($h = D 	an \alpha$)। आधार अगम्य होने पर दो स्टेशन अनिवार्य हैं।

Examoogle · Answer

Option A: वस्तु का आधार अनंत पर है

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Option B: वस्तु का आधार सटीक स्थिति पर है

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Option C: वस्तु का आधार पहुँच योग्य (सुलभ) है

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