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CivilAdvanced Survey

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जब किसी वस्तु का आधार सुगम्य (accessible) हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा D का मान दर्शाता है?

= h cot α

= h / tan α

= tan α / h

A और B दोनों

Correct Answer

⚙️ TE • Technical अवधारणा एवं सिद्धांतCivilAdvanced Survey

A और B दोनों

Quick Summary:

त्रिकोणमितीय समतलन (trigonometrical levelling) में, जब किसी वस्तु का आधार सुगम्य होता है, तो उपकरण स्टेशन और वस्तु के बीच की क्षैतिज दूरी $D$ को समकोण त्रिकोणमिति का उपयोग करके सीधे निर्धारित किया जा सकता है। यदि $h$ उपकरण अक्ष से ऊपर वस्तु की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई है और $\alpha$ उन्नयन कोण है, तो $\tan \alpha = \frac{h}{D}$ , जिससे $D = \frac{h}{\tan \alpha} = h \cot \alpha$ प्राप्त होता है।

⚙️TETechnical Solutionअवधारणा एवं सिद्धांत

💡 Explanation

🔢 Key Formulas

$D = \frac{h}{\tan \alpha}$ — स्पर्शज्या (tangent) के पदों में क्षैतिज दूरी

$D = h \cot \alpha$ — कोटिस्पर्शी (cotangent) के पदों में क्षैतिज दूरी

$h = D \tan \alpha$ — उपकरण अक्ष के ऊपर ऊर्ध्वाधर ऊंचाई

⚙️ Working Principle

क्षैतिज दूरी एक ज्ञात क्षैतिज समतल पर उपकरण स्टेशन पर सेट किए गए थियोडोलाइट का उपयोग करके उन्नयन कोण $\alpha$ को मापकर निर्धारित की जाती है। चूंकि आधार सुगम्य है, इसलिए दृष्टि रेखा ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ और क्षैतिज दूरी $D$ के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, $D$ को $h \cot \alpha$ या $\frac{h}{\tan \alpha}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो दोनों गणितीय रूप से समान हैं।

📌 Key Points

▸
वस्तु का आधार सुगम्य है, जिसका अर्थ है कि क्षैतिज दूरी $D$ को सीधे मापा जा सकता है या एक ही स्टेशन सेटअप से परिकलित किया जा सकता है।
▸
$\cot \alpha$ , $\tan \alpha$ का व्युत्क्रम है, जिससे $h \cot \alpha$ और $\frac{h}{\tan \alpha}$ समान गणितीय व्यंजक बन जाते हैं।
▸
त्रिकोणमितीय समतलन ऊंचाई की गणना करने के लिए ऊर्ध्वाधर कोणों और ज्ञात क्षैतिज दूरियों के मापन पर निर्भर करता है।

✅ Advantages

▸
आधार सुगम्य होने पर केवल एक उपकरण स्टेशन सेटअप की आवश्यकता होती है।
▸
मूल त्रिकोणमितीय संबंधों का उपयोग करके ऊंचाई और दूरी का त्वरित और सटीक निर्धारण प्रदान करता है।

❌ Disadvantages / Limitations

▸
यह मानता है कि आधार सुगम्य भूमि पर है जहां क्षैतिज दृष्टि निर्बाध है।
▸
लंबी दूरियों के लिए अपवर्तन और वक्रता संशोधनों को लागू किया जाना चाहिए।

🛠️ Applications / Uses

▸
जब आधार तक पहुंच उपलब्ध हो तो टावरों, चिमनियों या भवनों की ऊंचाई निर्धारित करना।
▸
पहाड़ी इलाकों में स्थलाकृतिक सर्वेक्षण और अप्रत्यक्ष समतलन।

📄 Additional Information

▸
विकल्प A ( $h \cot \alpha$ ) और विकल्प B ( $\frac{h}{\tan \alpha}$ ) त्रिकोणमितीय रूप से तुल्य हैं क्योंकि $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ होता है।
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विकल्प C ( $\frac{\tan \alpha}{h}$ ), $\frac{1}{D}$ का प्रतिनिधित्व करता है, जो दूरी $D$ की गणना के लिए गणितीय रूप से गलत है।

📊 Diagram / Illustration

✅

D सही है — जब वस्तु का आधार सुगम्य हो, तो $h \cot \alpha$ और $\frac{h}{\tan \alpha}$ दोनों दूरी $D$ के सटीक सूत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं।

Core Concepts Used

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त्रिकोणमितीय समतलन (Trigonometrical Levelling) सुगम्य आधार की स्थिति (Accessible Base Case) उन्नयन कोण (Angle of Elevation)

💡 EXAM TIP

'A और B दोनों' जैसे विकल्पों को छूटने से बचाने के लिए एकल-विकल्प उत्तर चुनने से पहले हमेशा व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय रूपों (जैसे $\tan$ बनाम $\cot$ ) की जांच करें।

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