मुक्त स्थान (free space) में मैक्सवेल का प्रथम समीकरण है

Question

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B: $
abla 	imes H = \frac{\partial D}{\partial t}$

Explanation & Concepts:
एम्पीयर-मैक्सवेल नियम से व्युत्पन्न मैक्सवेल का प्रथम समीकरण, चालन धाराओं की अनुपस्थिति में चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता को विस्थापन धारा घनत्व से संबंधित करता है। मुक्त स्थान में, जहाँ चालकता $\sigma = 0$ है, चालन धारा घनत्व $J = 0$ होता है, जिससे $
abla 	imes H = \frac{\partial D}{\partial t}$ संबंध प्राप्त होता है।

Working Principle: यह सिद्धांत समय-परिवर्ती विद्युत क्षेत्रों को शामिल करने के लिए एम्पीयर के नियम के सामान्यीकरण से उत्पन्न हुआ है। विद्युत चुम्बकीय प्रेरण की फैराडे की खोज ने निरंतरता समीकरण की स्थिरता बनाए रखने के लिए विस्थापन धारा पद, $\frac{\partial D}{\partial t}$ को जोड़ने की आवश्यकता उत्पन्न की। निर्वात (मुक्त स्थान) में, आवेश घनत्व $ho = 0$ और धारा घनत्व $J = 0$ होता है, जिससे विद्युत विस्थापन क्षेत्र का समय-परिवर्तन ही परिक्रामी चुंबकीय क्षेत्र का एकमात्र स्रोत बन जाता है।

Key Formulas: $
abla 	imes H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$ — सामान्य एम्पीयर-मैक्सवेल नियम; $
abla 	imes H = \frac{\partial D}{\partial t}$ — मुक्त स्थान की स्थिति

Key Points: मैक्सवेल के समीकरण शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व की नींव हैं।; पद $\frac{\partial D}{\partial t}$ विस्थापन धारा घनत्व को दर्शाता है।; मुक्त स्थान में, चालकता शून्य होती है, इसलिए $J=0$ है।; यह समीकरण यह संकेत देता है कि एक समय-परिवर्ती विद्युत क्षेत्र एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।

Advantages: विद्युत चुम्बकीय तरंग प्रसार का पूर्वानुमान लगाता है।; विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के लिए एक एकीकृत सिद्धांत प्रदान करता है।

Disadvantages: क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक प्रभावों के लिए जिम्मेदार नहीं है।; कार्यान्वयन के लिए वेक्टर कैलकुलस के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

Applications: रेडियो तरंग संचरण।; एंटेना और वेवगाइड का डिज़ाइन।

Additional Info: स्थिरांक $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है, जो लगभग $8.854 	imes 10^{-12} 	ext{ F/m}$ है।. विकल्प A सामान्य रूप है जिसमें चालन धारा $J$ शामिल है। विकल्प C समय परिवर्तन के बिना एक स्थिर क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। विकल्प D स्थिर धाराओं (मैग्नेटोस्टैटिक्स) के लिए एम्पीयर का नियम है।

Answer: B सही है — मुक्त स्थान में, चालन धारा घनत्व $J$ शून्य होता है, जिससे मैक्सवेल-एम्पीयर समीकरण सरल होकर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का कर्ल, विद्युत विस्थापन क्षेत्र के समय अवकलज के बराबर हो जाता है: $
abla 	imes H = \frac{\partial D}{\partial t}$।

Exam Tip: मैक्सवेल के समीकरणों को लागू करने से पहले हमेशा माध्यम की स्थितियों (जैसे मुक्त स्थान, चालक या डाइलेक्ट्रिक) की जांच करें, क्योंकि $J$ और $ho$ में भिन्नता समीकरण के रूप को महत्वपूर्ण रूप से बदल देती है।

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Option A: $
abla 	imes H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$

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Option C: $
abla 	imes H = 0$

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Option D: $
abla 	imes H = J$

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