स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के लिए

Question

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B: $
abla 	imes \mathbf{B} = \mu \mathbf{J}$

Explanation & Concepts:
एक स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के लिए, अवकल रूप में मैक्सवेल का एम्पियर का नियम $
abla 	imes \mathbf{H} = \mathbf{J}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $\mathbf{H}$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है और $\mathbf{J}$ धारा घनत्व है। चूँकि $\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$ होता है, इसलिए संबंध $
abla 	imes \mathbf{B} = \mu \mathbf{J}$ हो जाता है, जो यह दर्शाता है कि स्थिर धाराएँ ही स्थिर चुंबकीय क्षेत्र का स्रोत हैं।

Working Principle: एम्पियर का परिपथीय नियम बताता है कि एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का परिसंचरण उस लूप द्वारा घिरी धारा के बराबर होता है। अवकल रूप में, इसका तात्पर्य यह है कि चुंबकीय क्षेत्र का कर्ल (curl) धारा घनत्व के बराबर होता है। स्थिर स्थितियों में, पूर्ण मैक्सवेल-एम्पियर नियम में समय-परिवर्ती विस्थापन धारा पद ($\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$) शून्य हो जाता है, जिससे केवल स्थिर सूत्रीकरण बचता है।

Key Formulas: $
abla 	imes \mathbf{B} = \mu \mathbf{J}$ — स्थिर क्षेत्रों के लिए एम्पियर के नियम का अवकल रूप; $
abla \cdot \mathbf{B} = 0$ — चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम

Key Points: स्थिर चुंबकीय क्षेत्र असंरक्षी (non-conservative) होता है क्योंकि $
abla 	imes \mathbf{B} 
eq 0$।; चुंबकीय क्षेत्रों के कोई पृथक स्रोत (मोनोपोल) नहीं होते हैं, इसलिए $
abla \cdot \mathbf{B} = 0$।; स्थिरांक $\mu$ माध्यम की पारगम्यता (permeability) को दर्शाता है।

Advantages: अत्यधिक सममित धारा वितरण के लिए चुंबकीय क्षेत्रों की गणना को सरल बनाता है।; धारा घनत्व और चुंबकीय क्षेत्र के बीच एक स्थानीय संबंध प्रदान करता है।

Disadvantages: विस्थापन धारा सुधार के बिना समय-परिवर्ती क्षेत्रों पर लागू नहीं होता है।; सरलीकृत पारगम्यता के लिए रैखिक, समरूप और समदैशिक माध्यम मानता है।

Applications: लंबे सीधे तारों के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्रों की गणना।; कम आवृत्ति पर काम करने वाले इंडक्टर और ट्रांसफार्मर को डिजाइन करना।

Additional Info: विकल्प A ($
abla 	imes \mathbf{B} = ho$) आयामी रूप से गलत है क्योंकि यह क्षेत्र के कर्ल को आवेश घनत्व के बराबर करता है।. विकल्प D ($
abla 	imes \mathbf{B} = 0$) केवल स्रोत-मुक्त क्षेत्रों (जहाँ $J=0$ है) में सत्य है।

Answer: B सही है — स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के लिए एम्पियर के परिपथीय नियम का अवकल रूप $
abla 	imes \mathbf{B} = \mu \mathbf{J}$ है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि समय-परिवर्ती क्षेत्रों में, एम्पियर के नियम के दाईं ओर एक विस्थापन धारा पद जुड़ जाता है, जिससे यह $
abla 	imes \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ हो जाता है।

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Option A: $
abla 	imes \mathbf{B} = ho$

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Option C: $
abla \cdot \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$

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Option D: $
abla 	imes \mathbf{B} = 0$

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