यदि चतुर्भुज $ JKLM $ में, कोणों $ J, K, L, $ और $ M $ के माप $ 2 : 3 : 5 : 6 $ के अनुपात में हैं, तो चतुर्भुज

Question

यदि चतुर्भुज $ JKLM $ में, कोणों $ J, K, L, $ और $ M $ के माप $ 2 : 3 : 5 : 6 $ के अनुपात में हैं, तो चतुर्भुज एक क्या है?

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is C: समलंब (Trapezium). मान लीजिए कोण $2x$, $3x$, $5x$, और $6x$ हैं। इनका योग $2x + 3x + 5x + 6x = 16x = 360^\circ$ है, जिससे $x = 22.5^\circ$ प्राप्त होता है। कोण $45^\circ, 67.5^\circ, 112.5^\circ, 135^\circ$ हैं। चूंकि आसन्न या सम्मुख भुजाओं/कोणों का कोई भी युग्म समांतर या पतंग के गुणों (जैसे कि समान आसन्न भुजाएं या समांतर सम्मुख भुजाएं) को संतुष्ट नहीं करता है, मानक चतुर्भुज वर्गीकरण की जांच करें। विशेष रूप से, सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ नहीं है और वे बराबर नहीं हैं। समलंब की जांच करें: एक समलंब में कम से कम समांतर भुजाओं के एक युग्म की आवश्यकता होती है, जो कि $180^\circ$ के योग वाले क्रमागत कोणों के संगत होता है ($45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$ तथा $67.5^\circ + 112.5^\circ = 180^\circ$)। इसलिए, दो पक्षों के आसन्न कोणों का योग $180^\circ$ होता है, जिसका अर्थ है कि दो भुजाएं समांतर हैं!

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: मान लीजिए कोण $2x$, $3x$, $5x$, और $6x$ हैं। इनका योग $2x + 3x + 5x + 6x = 16x = 360^\circ$ है, जिससे $x = 22.5^\circ$ प्राप्त होता है। कोण $45^\circ, 67.5^\circ, 112.5^\circ, 135^\circ$ हैं। चूंकि आसन्न या सम्मुख भुजाओं/कोणों का कोई भी युग्म समांतर या पतंग के गुणों (जैसे कि समान आसन्न भुजाएं या समांतर सम्मुख भुजाएं) को संतुष्ट नहीं करता है, मानक चतुर्भुज वर्गीकरण की जांच करें। विशेष रूप से, सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ नहीं है और वे बराबर नहीं हैं। समलंब की जांच करें: एक समलंब में कम से कम समांतर भुजाओं के एक युग्म की आवश्यकता होती है, जो कि $180^\circ$ के योग वाले क्रमागत कोणों के संगत होता है ($45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$ तथा $67.5^\circ + 112.5^\circ = 180^\circ$)। इसलिए, दो पक्षों के आसन्न कोणों का योग $180^\circ$ होता है, जिसका अर्थ है कि दो भुजाएं समांतर हैं!

Formula Used: $$	ext{चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग} = 360^\circ$$

Given: चतुर्भुज JKLM के कोणों J, K, L, और M का अनुपात 2 : 3 : 5 : 6 है

Steps: चरण 1: कोण अनुपात स्थापित करें: मान लीजिए कि कोण $J$, $K$, $L$, और $M$ के माप क्रमशः $2x$, $3x$, $5x$, और $6x$ हैं।. चरण 2: चतुर्भुज के कोणों के योग का नियम लागू करें: चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा $360^\circ$ होता है। इसलिए, योग समीकरण स्थापित करें और $x$ के लिए हल करें।. चरण 3: व्यक्तिगत कोणों की गणना करें: प्रत्येक कोण के व्यंजक में $x = 22.5^\circ$ रखें: कोण $J = 2(22.5^\circ) = 45^\circ$, कोण $K = 3(22.5^\circ) = 67.5^\circ$, कोण $L = 5(22.5^\circ) = 112.5^\circ$, कोण $M = 6(22.5^\circ) = 135^\circ$।. चरण 4: चतुर्भुज के प्रकार की पहचान करें: ध्यान दें कि $\angle J + \angle M = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$ और $\angle K + \angle L = 67.5^\circ + 112.5^\circ = 180^\circ$। चूंकि दो पक्षों पर क्रमागत आंतरिक कोण संपूरक हैं, इसलिए सम्मुख भुजाएं समांतर हैं, जो एक समलंब को परिभाषित करती हैं।

Answer: C सही है क्योंकि क्रमागत अंतः कोणों का योग $180^\circ$ के बराबर है, जो पुष्टि करता है कि चतुर्भुज एक समलंब (Trapezium) है।

Exam Tip: कोण अनुपातों वाली किसी भी बहुभुज समस्या में, समांतर रेखाओं और समलंब की तुरंत पहचान करने के लिए हमेशा जांचें कि क्या क्रमागत अंतः कोणों का योग $180^\circ$ है।

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