एक बंद घन के आकाशीय विकर्ण (space diagonal) की लंबाई का वर्ग $ 2175 ext{ cm}^2 $ है। घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्

Question

एक बंद घन के आकाशीय विकर्ण (space diagonal) की लंबाई का वर्ग $ 2175	ext{ cm}^2 $ है। घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ($	ext{cm}^2 $ में) कितना है?

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is B: 4350. चूँकि आकाशीय विकर्ण का वर्ग $d^2 = 3a^2$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6a^2$ होता है, ध्यान दें कि $S = 2 	imes d^2 = 2 	imes 2175 = 4350 	ext{ cm}^2$ है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: चूँकि आकाशीय विकर्ण का वर्ग $d^2 = 3a^2$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6a^2$ होता है, ध्यान दें कि $S = 2 	imes d^2 = 2 	imes 2175 = 4350 	ext{ cm}^2$ है।

Formula Used: $$d^2 = 3a^2, \quad 	ext{कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 6a^2$$

Given: एक बंद घन के आकाशीय विकर्ण की लंबाई का वर्ग = 2175 cm^2

Steps: चरण 1: घन के आकाशीय विकर्ण का सूत्र समझें: भुजा $a$ वाले घन का आकाशीय विकर्ण $d$, $d = a\sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर आकाशीय विकर्ण का वर्ग प्राप्त होता है: $d^2 = 3a^2$।. चरण 2: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को $a^2$ से संबंधित करें: भुजा $a$ वाले 6 वर्गाकार फलकों वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$, $S = 6a^2$ होता है।. चरण 3: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करें: चूँकि $3a^2 = 2175$ है, हम 2 से गुणा करके $6a^2$ ज्ञात कर सकते हैं: $S = 2 	imes 3a^2 = 2 	imes 2175 = 4350 	ext{ cm}^2$।

Answer: B सही है क्योंकि घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना इसके आकाशीय विकर्ण के वर्ग के दोगुने के रूप में की जाती है ($2 	imes 2175 = 4350 	ext{ cm}^2$)।

Exam Tip: घनाभ और समचतुष्फलक (regular tetrahedron) के लिए भी समान अनुपात मौजूद होते हैं, जहाँ ज्यामितीय अनुपात अलग-अलग भुजाओं की विमाएँ ज्ञात किए बिना गणना को सरल बनाते हैं।

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