दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात $ 2:3 $ है। यदि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $ 36 ext{ sq cm}$ है,

Question

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात $ 2:3 $ है। यदि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $ 36 	ext{ sq cm}$ है, तो बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

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The correct answer is C: 81 वर्ग सेमी. क्षेत्रफल का अनुपात प्राप्त करने के लिए भुजा के अनुपात का वर्ग करें: $(2/3)^2 = 4/9$। चूंकि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 36 है, $4x = 36 \implies x = 9$। बड़ा क्षेत्रफल $= 9 	imes 9 = 81$ वर्ग सेमी।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: क्षेत्रफल का अनुपात प्राप्त करने के लिए भुजा के अनुपात का वर्ग करें: $(2/3)^2 = 4/9$। चूंकि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 36 है, $4x = 36 \implies x = 9$। बड़ा क्षेत्रफल $= 9 	imes 9 = 81$ वर्ग सेमी।

Formula Used: $$\frac{	ext{Area}_1}{	ext{Area}_2} = \left(\frac{	ext{Side}_1}{	ext{Side}_2}ight)^2$$

Given: दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात = 2:3, छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 36 वर्ग सेमी

Steps: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की प्रमेय को समझें: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।. दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: दिया गया है कि संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ है और छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $36	ext{ वर्ग सेमी}$ है।. बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: अनुपात का वर्ग करने पर $\frac{4}{9}$ प्राप्त होता है। इसलिए, $\frac{36}{	ext{Area}_	ext{bigger}} = \frac{4}{9}$।

Answer: C सही है क्योंकि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है, जिससे क्षेत्रफल 81 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

Exam Tip: समरूप आकृतियों में, लंबाई $k$ के गुणक में बदलती है, क्षेत्रफल $k^2$ के गुणक में बदलते हैं, और समान 3D ठोसों के आयतन $k^3$ के गुणक में बदलते हैं।

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Option A: 16 वर्ग सेमी

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Option B: 96 वर्ग सेमी

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Option D: 36 वर्ग सेमी

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