एक चतुर्भुज $ PQRS $ में, यदि कोणों $\angle Q $ और $\angle S $ के मापों का योग $ 150^\circ $ है, जबकि कोणों $\

Question

एक चतुर्भुज $ PQRS $ में, यदि कोणों $\angle Q $ और $\angle S $ के मापों का योग $ 150^\circ $ है, जबकि कोणों $\angle P $ और $\angle R $ के माप $ 4:3 $ के अनुपात में हैं, तो $\angle R $ का माप होगा:

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is B: $90^\circ$. चतुर्भुज का कोण योग गुण प्रयोग करें: सभी चार आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। चूंकि Q + S = 150° है, इसलिए इसे सीधे प्रतिस्थापित करके P + R = 210° प्राप्त करें, फिर 210° को 4:3 अनुपात के अनुसार विभाजित करें।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: चतुर्भुज का कोण योग गुण प्रयोग करें: सभी चार आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। चूंकि Q + S = 150° है, इसलिए इसे सीधे प्रतिस्थापित करके P + R = 210° प्राप्त करें, फिर 210° को 4:3 अनुपात के अनुसार विभाजित करें।

Formula Used: $$\angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^{\circ}$$

Given: चतुर्भुज PQRS में कोण Q और S का योग = 150°, कोण P और R का अनुपात = 4 : 3

Steps: चतुर्भुज के कोण योग गुण का उपयोग करें: किसी भी चतुर्भुज में सभी चार आंतरिक कोणों का योग हमेशा $360^{\circ}$ होता है। इसलिए, 
$$\angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^{\circ}$$. कोण Q और कोण S के योग का मान रखें: हमें दिया गया है कि $\angle Q + \angle S = 150^{\circ}$ है। इस मान को कोण योग समीकरण में रखने पर: 
$$\angle P + \angle R + 150^{\circ} = 360^{\circ}$$ 
$$\angle P + \angle R = 360^{\circ} - 150^{\circ} = 210^{\circ}$$. कोण P और R के लिए दिए गए अनुपात का उपयोग करें: $\angle P$ से $\angle R$ का अनुपात $4 : 3$ दिया गया है। माना $\angle P = 4x$ और $\angle R = 3x$ है। 
$$4x + 3x = 210^{\circ}$$ 
$$7x = 210^{\circ}$$ 
$$x = 30^{\circ}$$. कोण R का माप ज्ञात करें: $x = 30^{\circ}$ को $\angle R = 3x$ में रखें: 
$$\angle R = 3 	imes 30^{\circ} = 90^{\circ}$$ 
साथ ही, $\angle P = 4 	imes 30^{\circ} = 120^{\circ}$ है। अतः विकल्प B ($90^{\circ}$) $\angle R$ के लिए सही है।

Answer: B सही है क्योंकि अनुपात और कोण योग गुण से परिकलित कोण R का माप $90^{\circ}$ है।

Exam Tip: इसी तरह के अनुपात-आधारित विभाजन प्रश्न त्रिभुजों और बहुभुजों में बार-बार आते हैं जहाँ आंतरिक कोणों का योग $(n-2) 	imes 180^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।

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