जब एक गाँव के $ 10\%$ निवासी हैजा के कारण मर गए, तो एक घबराहट फैल गई, जिसके दौरान शेष निवासियों में से $ 25\%$

Question

जब एक गाँव के $ 10\%$ निवासी हैजा के कारण मर गए, तो एक घबराहट फैल गई, जिसके दौरान शेष निवासियों में से $ 25\%$ गाँव छोड़कर चले गए। जनसंख्या फिर कम होकर $ 4050 $ रह गई। मूल निवासियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

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The correct answer is D: <img src="https://pub-081556611d09428991bde6883a2dddeb.r2.dev/rrb-alp-2024/shift-5/q70_opt_d.png" alt="Option D" style="max-height:80px; vertical-align:middle;" />. इस समस्या को हल करने के लिए, हम शेष जनसंख्या की गणना क्रमिक रूप से करते हैं। मूल जनसंख्या $P$ का $10\%$ मरने के बाद, $90\%$ शेष बचती है; इसके बाद, इस शेष का $25\%$ चला जाता है, जिससे $90\%$ जनसंख्या का $75\%$ शेष बचता है, जो $4050$ के बराबर है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
इस समस्या को हल करने के लिए, हम शेष जनसंख्या की गणना क्रमिक रूप से करते हैं। मूल जनसंख्या $P$ का $10\%$ मरने के बाद, $90\%$ शेष बचती है; इसके बाद, इस शेष का $25\%$ चला जाता है, जिससे $90\%$ जनसंख्या का $75\%$ शेष बचता है, जो $4050$ के बराबर है।

Working Principle: यह सिद्धांत क्रमिक प्रतिशत कमी पर आधारित है। यदि प्रारंभिक जनसंख्या $P$ है, तो हैजा के बाद जनसंख्या $P 	imes (1 - 0.10) = 0.9P$ होगी। इसमें से $25\%$ के चले जाने के बाद, शेष जनसंख्या $(0.9P) 	imes (1 - 0.25) = 0.9P 	imes 0.75$ होगी। इसे $4050$ के बराबर रखने पर हम $P$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Key Formulas: $P_{final} = P_{initial} 	imes (1 - \frac{r_1}{100}) 	imes (1 - \frac{r_2}{100})$ — क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन के लिए सूत्र

Key Points: क्रमिक कमियां योगात्मक (additive) नहीं, बल्कि गुणात्मक (multiplicative) होती हैं।; यदि प्रतिशत स्थिर रहता है, तो कमी का क्रम अंतिम परिणाम को नहीं बदलता है।; $10\%$ की हानि के बाद शेष प्रतिशत $90\%$ है और $25\%$ की हानि के बाद $75\%$ है।

Advantages: श्रृंखला प्रतिक्रियाओं या जनसंख्या गतिकी की गणना के लिए एक स्पष्ट विधि प्रदान करता है।

Disadvantages: प्रत्येक चरण के लिए 'शेष' आधार की सावधानीपूर्वक पहचान की आवश्यकता होती है।

Applications: ब्याज दरों की गणना; रेडियोधर्मी पदार्थों में अर्ध-आयु और क्षय का निर्धारण

Additional Info: गणना: $P 	imes 0.9 	imes 0.75 = 4050 \Rightarrow P 	imes 0.675 = 4050 \Rightarrow P = 6000$।. गलत विकल्प: यदि कोई गलत तरीके से $10\% + 25\% = 35\%$ जोड़ता है, तो वे $P$ का $65\%$ निकालेंगे, जिससे गलत परिणाम प्राप्त होगा।

Answer: D सही है — मूल जनसंख्या $P 	imes 0.9 	imes 0.75 = 4050$ को हल करके पाई जाती है, जिसका परिणाम $6000$ है।

Exam Tip: प्रतियोगी परीक्षाओं में, हमेशा भिन्नों को सीधे गुणा करें: $P 	imes \frac{9}{10} 	imes \frac{3}{4} = 4050$ ताकि गणनाओं को तेजी से सरल किया जा सके।

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