$ m $ द्रव्यमान के एक पिंड को जमीन से $ h $ ऊंचाई पर ले जाया जाता है, पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होगी: गु

Question

$ m $ द्रव्यमान के एक पिंड को जमीन से $ h $ ऊंचाई पर ले जाया जाता है, पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होगी: गुरुत्वीय त्वरण $ g $ है।

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The correct answer is C: $F 	imes d$. एकसमान गुरुत्वीय क्षेत्र में जमीन से $h$ ऊंचाई पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ($PE$) उसके द्रव्यमान, गुरुत्वीय त्वरण ($g$), और ऊंचाई ($h$) के गुणनफल के बराबर होती है, जिसे $mgh$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
एकसमान गुरुत्वीय क्षेत्र में जमीन से $h$ ऊंचाई पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ($PE$) उसके द्रव्यमान, गुरुत्वीय त्वरण ($g$), और ऊंचाई ($h$) के गुणनफल के बराबर होती है, जिसे $mgh$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

Working Principle: जब $m$ द्रव्यमान के किसी पिंड को स्थिर चाल से $h$ ऊंचाई तक लंबवत ऊपर उठाया जाता है, तो नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल ($F = mg$) के विरुद्ध कार्य किया जाता है। पिंड को उठाने में किया गया यह कार्य पिंड के अंदर स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। चूंकि कार्य $W = 	ext{बल} 	imes 	ext{विस्थापन} = (mg) 	imes (h)$ होता है, इसलिए पिंड द्वारा प्राप्त गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $PE = mgh$ होती है।

Key Formulas: $PE = mgh$ — पृथ्वी की सतह के पास गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा; $W = \Delta PE = mgh$ — किसी पिंड को उठाने के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय

Key Points: गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा पिंड के द्रव्यमान ($m$), गुरुत्वीय त्वरण ($g$), और ऊंचाई ($h$) पर रैखिक रूप से निर्भर करती है।; इसे जूल ($	ext{J}$) या $	ext{kg} \cdot 	ext{m}^2	ext{s}^{-2}$ में मापा जाता है।; संदर्भ स्तर जहां स्थितिज ऊर्जा को शून्य माना जाता है, स्वेच्छा से चुना जाता है, जिसे आमतौर पर भूमि स्तर पर लिया जाता है।

Advantages: पृथ्वी की सतह के पास एकसमान गुरुत्वीय क्षेत्रों के लिए सरल और सटीक सूत्र।

Disadvantages: अधिक ऊंचाइयों के लिए मान्य नहीं है जहां $g$ ऊंचाई ($h$ की तुलना पृथ्वी की त्रिज्या $R$ से करने पर) के साथ महत्वपूर्ण रूप से बदलता है। ऐसे मामलों में, सार्वत्रिक स्थितिज ऊर्जा सूत्र $PE = -\frac{G M m}{r}$ का उपयोग किया जाना चाहिए।

Applications: जलविद्युत ऊर्जा उत्पादन जहां ऊंचाई पर संचित पानी में स्थितिज ऊर्जा होती है।; पेंडुलम और रोलर कोस्टर जिनमें गतिज और स्थितिज ऊर्जा के बीच निरंतर परिवर्तन शामिल होता है।

Additional Info: विकल्प A ($mgh$) पृथ्वी की सतह के पास गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के सही सूत्र को दर्शाता है।. विकल्प B ($mg/h$) और विकल्प D ($m 	imes g$) ऊर्जा के लिए विमीय रूप से गलत हैं।. विकल्प C ($m 	imes h$) में गुरुत्वीय त्वरण पद का अभाव है।

Answer: A सही है — $h$ ऊंचाई पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $mgh$ द्वारा दी जाती है।

Exam Tip: यांत्रिकी समस्याओं में हमेशा विमीय संगति की जांच करें: स्थितिज ऊर्जा की विमाएं $[M L^2 T^{-2}]$ हैं, जो $mgh$ के लिए $[M] 	imes [L T^{-2}] 	imes [L] = [M L^2 T^{-2}]$ से मेल खाती हैं।

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