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MathematicsProbability

यदि $E$ और $F$ दो परस्पर अनन्य घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(E) = \frac{1}{6}$ और $P(F) = \frac{1}{2}$ , तो $P(\text{not } E \text{ and not } F)$ ज्ञात कीजिए।

$\frac{2}{3}$

$\frac{5}{6}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

Correct Answer

⚙️ TE • Technical समुच्चय सिद्धांत पहचानMathematicsProbability

$\frac{2}{3}$

Quick Summary:

चूँकि घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं, P(E or F) केवल उनका योग है। डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करें: P(not E and not F) संघ (union) की प्रायिकता को 1 में से घटाने के बराबर है।

📐MAMath Solutionसमुच्चय सिद्धांत पहचान

📋 Given

दो परस्पर अनन्य घटनाएँ E और F, जिनकी प्रायिकता P(E) = 1/6 और P(F) = 1/2 है।

🔢 Formula Used

P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(E∩F)P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(E∩F) और P(Ec∩Fc)=1−P(E∪F)P(E^c \cap F^c) = 1 - P(E \cup F)P(Ec∩Fc)=1−P(E∪F)

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

छात्र अक्सर गलत तरीके से मान लेते हैं कि P(not E and not F) = P(not E) * P(not F), जो केवल तभी मान्य है जब घटनाएँ स्वतंत्र हों, न कि परस्पर अनन्य।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

संघ प्रायिकता की गणना करें

परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए, प्रतिच्छेदन $P(E \cap F) = 0$ होता है। योग नियम का उपयोग करके, संघ $P(E \cup F)$ की गणना करें।

P(E∪F)=16+12=1+36=46=23P(E \cup F) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1+3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}P(E∪F)=61​+21​=61+3​=64​=32​

पूरक नियम लागू करें

हमें उस प्रायिकता की आवश्यकता है कि कोई भी घटना न घटे, जो कि उनके संघ का पूरक है, जिसे $P((E \cup F)^c)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

P(not E and not F)=1−P(E∪F)P(\text{not } E \text{ and not } F) = 1 - P(E \cup F)P(not E and not F)=1−P(E∪F)

अंतिम गणना

परिणाम ज्ञात करने के लिए संघ की प्रायिकता को 1 में से घटाएँ।

1−23=131 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}1−32​=31​

✅

D सही है क्योंकि संघ की प्रायिकता 2/3 है, और इसका पूरक 1 - 2/3 = 1/3 है।

Core Concepts Used

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परस्पर अनन्य घटनाएँ डी मॉर्गन के नियम पूरक प्रायिकता

💡 EXAM TIP

'not A and not B' की यह अवधारणा 'समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत' (Principle of Inclusion-Exclusion) के समान है, जिसका उपयोग अक्सर समुच्चय और गणना समस्याओं में किया जाता है।

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