निम्नलिखित व्यंजक को सरल कीजिए:$$\frac{\sin heta}{1 + \cos heta} + \frac{1 + \cos heta}{\sin heta}$$

Question

निम्नलिखित व्यंजक को सरल कीजिए:$$\frac{\sin 	heta}{1 + \cos 	heta} + \frac{1 + \cos 	heta}{\sin 	heta}$$

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is B: $2 \csc 	heta$. सर्वसमिका $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$ का प्रयोग करें। जब आप तिरछा गुणा करते हैं, तो अंश $\sin^2 	heta + 1 + 2 \cos 	heta + \cos^2 	heta = 2 + 2 \cos 	heta = 2(1 + \cos 	heta)$ हो जाता है। यह हर में मौजूद $(1 + \cos 	heta)$ को काट देता है, जिससे $2/\sin 	heta = 2 \csc 	heta$ बचता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
Shortcut Trick: सर्वसमिका $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$ का प्रयोग करें। जब आप तिरछा गुणा करते हैं, तो अंश $\sin^2 	heta + 1 + 2 \cos 	heta + \cos^2 	heta = 2 + 2 \cos 	heta = 2(1 + \cos 	heta)$ हो जाता है। यह हर में मौजूद $(1 + \cos 	heta)$ को काट देता है, जिससे $2/\sin 	heta = 2 \csc 	heta$ बचता है।

Formula Used: $$\frac{\sin 	heta}{1 + \cos 	heta} + \frac{1 + \cos 	heta}{\sin 	heta} = \frac{\sin^2 	heta + (1 + \cos 	heta)^2}{\sin 	heta (1 + \cos 	heta)}$$

Given: सरल करने के लिए व्यंजक: (sin θ / (1 + cos θ)) + ((1 + cos θ) / sin θ)

Steps: सामान्य हर ज्ञात करना: भिन्नों को जोड़ने के लिए, दो हरों को गुणा करके एक सामान्य हर ज्ञात करें: $\sin 	heta (1 + \cos 	heta)$।. अंश का विस्तार करना: $(1 + \cos 	heta)^2$ पद का विस्तार $1 + 2 \cos 	heta + \cos^2 	heta$ के रूप में करें और $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta$ को समूहबद्ध करें।. सरल और गुणनखंड करना: अंश से 2 को कॉमन लें और अंश व हर से उभयनिष्ठ गुणनखंड $(1 + \cos 	heta)$ को काट दें।. अंतिम रूपांतरण: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1/\sin 	heta = \csc 	heta$ का उपयोग करते हुए, हमें अंतिम परिणाम प्राप्त होता है।

Answer: B सही है क्योंकि व्यंजक सरल होकर 2 cosec θ हो जाता है।

Exam Tip: यह प्रश्न पाइथागोरस सर्वसमिका $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$ के महत्व को प्रदर्शित करता है, जो कलन (calculus) और घूर्णन (rotation) से जुड़ी सम्मिश्र संख्या समस्याओं में उपयोग किया जाने वाला एक मूलभूत उपकरण है।

Correct Answer

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