तीन तारों (strands) वाले एक चालक, जिसमें प्रत्येक की त्रिज्या r है और जो एक-दूसरे को छू रहे हैं, का Self GMD ह

Question

तीन तारों (strands) वाले एक चालक, जिसमें प्रत्येक की त्रिज्या r है और जो एक-दूसरे को छू रहे हैं, का Self GMD है

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A: $r(0.778 	imes 2 	imes 2)^{1/3}$

Explanation & Concepts:
एक कंडक्टर बंडल का Self Geometric Mean Distance (GMD), जिसे Geometric Mean Radius (GMR) या $D_s$ भी कहा जाता है, की गणना तारों के बीच की सभी स्व-दूरी (self distances) और पारस्परिक दूरियों (mutual distances) के गुणनफल के n-वें मूल (n-th root) के रूप में की जाती है। तीन-तारों वाली व्यवस्था के लिए जहाँ $r$ त्रिज्या वाले तार एक-दूसरे को छू रहे हैं, self-GMD को $(D_{11} 	imes D_{12} 	imes D_{13} 	imes D_{21} 	imes D_{22} 	imes D_{23} 	imes D_{31} 	imes D_{32} 	imes D_{33})^{1/9}$ द्वारा दिया जाता है।

Working Principle: एक फँसे हुए (stranded) कंडक्टर में, प्रभावी त्रिज्या को ज्यामितीय विन्यास द्वारा संशोधित किया जाता है। एक तार के लिए, GMR $r' = r e^{-1/4} \approx 0.7788r$ होता है। जब एक बंडल में तीन तार स्पर्श कर रहे होते हैं, तो $D_{ii} = r'$ और $D_{ij} = 2r$ होता है जहाँ $i 
eq j$। $3 	imes 3$ मैट्रिक्स में सभी पदों का गुणनफल $(r' 	imes 2r 	imes 2r) 	imes (2r 	imes r' 	imes 2r) 	imes (2r 	imes 2r 	imes r') = (r')^3 	imes (2r)^6$ होता है। 9वाँ मूल लेने पर प्राप्त होता है: $[(r')^3 	imes (2r)^6]^{1/9} = (r')^{1/3} 	imes (2r)^{2/3} = (r' 	imes 2^2 	imes r^2)^{1/3} = (0.778r 	imes 4r^2)^{1/3} = r(0.778 	imes 4)^{1/3}$।

Key Formulas: $D_s = (D_{11} D_{12} D_{13} D_{21} D_{22} D_{23} D_{31} D_{32} D_{33})^{1/9}$ — 3 कंडक्टरों के लिए GMR की परिभाषा; $r' = 0.7788r$ — एक ठोस कंडक्टर का GMR

Key Points: GMR उस कंडक्टर की समतुल्य त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें वास्तविक फंसे हुए कंडक्टर के समान आंतरिक फ्लक्स लिंकेज होता है।; $r$ त्रिज्या वाले स्पर्श करने वाले तारों के बीच की दूरी $2r$ होती है।; Self-GMD में प्रत्येक व्यक्तिगत तार के स्व-प्रेरकत्व (self-inductance) और बंडल में तारों के बीच पारस्परिक प्रेरकत्व (mutual inductance) दोनों को ध्यान में रखा जाता है।

Advantages: ट्रांसमिशन लाइन के आंतरिक प्रेरकत्व को कम करता है।; प्रभावी त्रिज्या को बढ़ाता है, जिससे कोरोना प्रभाव कम हो जाता है।

Disadvantages: लाइन डिजाइन की यांत्रिक जटिलता को बढ़ाता है।; एकल समतुल्य कंडक्टर की तुलना में अधिक भौतिक सामग्री की आवश्यकता होती है।

Applications: हाई वोल्टेज AC ट्रांसमिशन लाइनें।; लाइन रिएक्टेंस को कम करने के लिए बंडल कंडक्टर डिजाइन।

Additional Info: 0.778 पद $e^{-1/4}$ का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक गोल ठोस कंडक्टर के आंतरिक चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज को दर्शाता है।. विकल्प B, C और D गलत हैं क्योंकि वे ज्यामितीय माध्य गणना के लिए घातांक नियमों को गलत तरीके से लागू करते हैं।

Answer: A सही है — Self-GMD प्रभावी त्रिज्या और तारों के बीच की दूरियों के वर्गों के गुणनफल के घनमूल द्वारा निर्धारित किया जाता है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि GMD गणनाओं के लिए, दूरी मैट्रिक्स के विकर्ण तत्व (diagonal elements) $r'$ (एक तार का GMR) होते हैं और विकर्ण के बाहर के तत्व तार के केंद्रों के बीच की भौतिक दूरियां होती हैं।

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Option B: $r(0.778 	imes 2 	imes 2 	imes 2)$

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Option C: $r(0.778 	imes 2 	imes 2 	imes 2)^3$

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Option D: $r(0.778 	imes 2 	imes 2)^3$

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