दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए। (1 + cos A) (cosec A − cot A) | Mathematics MCQ (हिंदी) | Examoogle

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MathematicsPrevious Year Paper 2024

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दिए गए व्यंजक को सरल कीजिए। (1 + cos A) (cosec A − cot A)

tan A

cosec A

sec A

sin A

Correct Answer

📐 MA • Math प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाMathematicsPrevious Year Paper 2024

sin A

Quick Summary:

मान प्रतिस्थापन: $A = 90°$ रखें। व्यंजक $(1 + \cos 90°)(\csc 90°- \cot 90°) = (1 + 0)(1 - 0) = 1$ हो जाता है। $A = 90°$ पर विकल्पों की जाँच करने पर: $\sin 90°= 1$ (विकल्प D)।

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📐MAMath Solutionप्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय सर्वसमिका

📋 Given

त्रिकोणमितीय व्यंजक: $(1 + \cos A)(\csc A - \cot A)$

🔢 Formula Used

csc⁡A=1sin⁡A,cot⁡A=cos⁡Asin⁡A,1−cos⁡2A=sin⁡2A\csc A = \frac{1}{\sin A}, \quad \cot A = \frac{\cos A}{\sin A}, \quad 1 - \cos^2 A = \sin^2 AcscA=sinA1​,cotA=sinAcosA​,1−cos2A=sin2A

⚡ Exam Hall Shortcut / Speed Trick

⚠️ Common Student Trap / Pitfall

सर्वसमिका के विस्तार में चिह्नों का भ्रम या $\cot A$ को $\frac{\cos A}{\sin A}$ के स्थान पर गलत तरीके से $\frac{\sin A}{\cos A}$ लिखना।

📊 Diagram / Illustration

🔢 Step-by-Step Solution

साइन और कोसाइन में बदलें

$\csc A$ और $\cot A$ को $\sin A$ और $\cos A$ के पदों में व्यक्त कीजिए।

csc⁡A−cot⁡A=1sin⁡A−cos⁡Asin⁡A=1−cos⁡Asin⁡A\csc A - \cot A = \frac{1}{\sin A} - \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}cscA−cotA=sinA1​−sinAcosA​=sinA1−cosA​

गुणनखंडों का गुणा करें

पुनर्लिखित पद को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित कीजिए और संयोजन कीजिए।

(1+cos⁡A)(1−cos⁡Asin⁡A)=(1+cos⁡A)(1−cos⁡A)sin⁡A(1 + \cos A)\left(\frac{1 - \cos A}{\sin A}\right) = \frac{(1 + \cos A)(1 - \cos A)}{\sin A}(1+cosA)(sinA1−cosA​)=sinA(1+cosA)(1−cosA)​

बीजगणितीय सर्वसमिका लागू करें

अंश में बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग कीजिए।

(1+cos⁡A)(1−cos⁡A)sin⁡A=1−cos⁡2Asin⁡A\frac{(1 + \cos A)(1 - \cos A)}{\sin A} = \frac{1 - \cos^2 A}{\sin A}sinA(1+cosA)(1−cosA)​=sinA1−cos2A​

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल करें

पाइथागोरस सर्वसमिका $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$ को अंश में प्रतिस्थापित कीजिए और सरल कीजिए।

sin⁡2Asin⁡A=sin⁡A\frac{\sin^2 A}{\sin A} = \sin AsinAsin2A​=sinA

✅

D सही है क्योंकि मौलिक सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल करने पर $\sin A$ प्राप्त होता है।

Core Concepts Used

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व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिका मान प्रतिस्थापन तकनीक

💡 EXAM TIP

प्रतियोगी परीक्षाओं में बीजगणितीय या त्रिकोणमितीय व्यंजकों को हल करते समय, $30°$ , $45°$ , या $90°$ जैसे मानक कोणों का परीक्षण करने से सेकंडों में विकल्पों की पुष्टि करने में मदद मिल सकती है।

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