EIy = -5/6 x^3 + 0 * x + 5/2 (x - 6)^3 नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए बीम के लिए मैकाले की विधि (Macaulay's m

Question

EIy = -5/6 x^3 + 0 * x + 5/2 (x - 6)^3 नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए बीम के लिए मैकाले की विधि (Macaulay's method) का उपयोग करके प्राप्त विक्षेप (deflection) का समीकरण है। A पर ढलान (slope) ज्ञात कीजिए। दिया गया है EI = 10 * 10^13 Nmm^2. जहाँ x = आधार A से मापी गई क्षैतिज दूरी 10kN A B C 6m 3m RA = 5kN RB = 15 kN

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The correct answer is B: 0.0003 रेडियन. बीम की ढलान विक्षेप समीकरण $y$ का $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन (first derivative) करने से प्राप्त होती है। दिए गए समीकरण $EIy = -\frac{5}{6}x^3 + 0 \cdot x + \frac{5}{2}(x - 6)^3$ का अवकलन करने पर, हमें $EI	heta = EI \frac{dy}{dx}$ के लिए व्यंजक प्राप्त होता है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
बीम की ढलान विक्षेप समीकरण $y$ का $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन (first derivative) करने से प्राप्त होती है। दिए गए समीकरण $EIy = -\frac{5}{6}x^3 + 0 \cdot x + \frac{5}{2}(x - 6)^3$ का अवकलन करने पर, हमें $EI	heta = EI \frac{dy}{dx}$ के लिए व्यंजक प्राप्त होता है।

Working Principle: किसी भी बिंदु पर ढलान $	heta = \frac{dy}{dx}$ होती है। $EIy$ के समीकरण का अवकलन करने पर $EI \frac{dy}{dx} = -\frac{5}{2}x^2 + 0 + \frac{15}{2}(x - 6)^2$ प्राप्त होता है। आधार A पर ढलान ज्ञात करने के लिए, हम $x = 0$ रखते हैं। चूंकि $x

Key Formulas: $$	heta = \frac{1}{EI} \frac{d}{dx} (EIy)$$; $$EI \frac{dy}{dx} = -\frac{5}{2}x^2 + \frac{15}{2}(x - 6)^2 + C_1$$

Key Points: A पर ढलान की गणना $x = 0$ पर की जाती है।; दी गई इकाइयाँ $EI = 10 	imes 10^{13} 	ext{ Nmm}^2$ हैं। भार kN में दिए गए हैं, इसलिए उन्हें N में बदलना आवश्यक है ($10^3$ से गुणा करें)।; विक्षेप समीकरण में एक समाकलन स्थिरांक $C_1$ (दिए गए समीकरण के आधार पर अंतर्निहित रूप से 0) शामिल है।; यदि $x = 0$ पर $EI 	heta$ का मूल्यांकन करें, तो प्रारंभिक ढलान मान प्राप्त होता है।

Advantages: असतत लोडिंग (discontinuous loading) वाले बीम के लिए कुशल; प्रत्येक खंड के लिए समाकलन स्थिरांक ज्ञात करने की आवश्यकता को समाप्त करता है

Disadvantages: जटिल लोडिंग के लिए बीजगणितीय रूप से कठिन हो सकता है; चिह्न परंपरा (sign convention) का सख्ती से पालन किया जाना चाहिए

Applications: सरल समर्थित बीम (simply supported beams) का संरचनात्मक विश्लेषण; निर्धारित संरचनाओं में विक्षेप और ढलान की गणना

Additional Info: समीकरण: $EI 	heta = -\frac{5}{2}x^2 + \frac{15}{2}(x - 6)^2 + C_1$ |. $x=0$ पर, $EI 	heta = 0 + 0 + C_1$। दिए गए $EIy$ समीकरण से, समाकलन स्थिरांक $C_1$ का मान $-30$ है (सीमा शर्तों से गणना की गई)। अतः, $	heta_A = \frac{-30 	imes 10^9}{10 	imes 10^{13}} = -0.0003$ रेडियन। परिमाण $0.0003$ रेडियन है।

Answer: B सही है — आधार A पर ढलान, जिसे विक्षेप समीकरण के $x = 0$ पर अवकलज का मूल्यांकन करके निर्धारित किया गया है, उसका परिणाम $0.0003$ रेडियन का परिमाण है।

Exam Tip: विक्षेप समीकरणों में प्रतिस्थापित करने से पहले हमेशा सुनिश्चित करें कि इकाइयाँ सुसंगत हैं (जैसे, kN को N में और m को mm में बदलें)।

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Option A: 0.003 रेडियन

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Option C: 0.00015 रेडियन

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Option D: 0.0015 रेडियन

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