दृढ़ता (Stiffness) (k) =

Question

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D: $Moment(M) / Rotation(	heta)$

Explanation & Concepts:
दृढ़ता (Stiffness) (k) को एक प्रत्यास्थ निकाय द्वारा विरूपण (deformation) के प्रति प्रदान किए गए प्रतिरोध के माप के रूप में परिभाषित किया गया है। संरचनात्मक यांत्रिकी के संदर्भ में, यह एक विशिष्ट जोड़ (joint) पर इकाई घूर्णन (unit rotation) उत्पन्न करने के लिए आवश्यक आघूर्ण (moment) का प्रतिनिधित्व करता है।

Working Principle: जब किसी संरचनात्मक सदस्य पर एक बाहरी आघूर्ण (M) लगाया जाता है, तो यह एक घूर्णन (θ) प्रेरित करता है। दृढ़ता (k) संबंध $M = k \cdot 	heta$ में समानुपातिकता स्थिरांक है, जो $k = \frac{M}{	heta}$ के रूप में सरल हो जाता है। यह पैरामीटर ढलान-विक्षेपण विधि (slope-deflection method) और अनिश्चित संरचनाओं के लिए मैट्रिक्स दृढ़ता विश्लेषण में मौलिक है।

Key Formulas: $k = \frac{M}{	heta}$ — घूर्णी दृढ़ता की परिभाषा; $M = \frac{4EI}{L} \cdot 	heta$ — दूर के सिरे के स्थिर होने पर सदस्य के लिए दृढ़ता

Key Points: दृढ़ता संरचना की ज्यामिति और सामग्री (E और I) का एक गुण है।; यह लागू किए गए भार से स्वतंत्र है और विशुद्ध रूप से एक संरचनात्मक विशेषता है।; उच्च दृढ़ता का अर्थ है कि एक निश्चित आघूर्ण के लिए विरूपण के प्रति अधिक प्रतिरोध।

Advantages: अनिश्चित संरचनाओं के विश्लेषण के लिए आवश्यक।; आघूर्ण वितरण विधि (Moment Distribution Method) में वितरण कारकों की गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

Disadvantages: गैर-रेखीय सामग्री व्यवहार का सीधे लेखा-जोखा नहीं रखता।; रेखीय प्रत्यास्थ प्रतिक्रिया (हुक का नियम) मानकर चलता है।

Applications: सतत बीम विश्लेषण।; भवन डिजाइन में फ्रेम विश्लेषण।; संरचनाओं का कंपन विश्लेषण।

Additional Info: दृढ़ता लचीलेपन (flexibility) के व्युत्क्रमानुपाती होती है ($	ext{Flexibility} = \frac{1}{k} = \frac{	heta}{M}$)।. विकल्प A लचीलेपन को दर्शाता है, दृढ़ता को नहीं।

Answer: D सही है — दृढ़ता (k) उसी बिंदु पर लगाए गए आघूर्ण (M) और परिणामी घूर्णन (	heta) का अनुपात है।

Exam Tip: याद रखें कि दृढ़ता को 'प्रति इकाई विस्थापन/घूर्णन बल या आघूर्ण' के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि लचीलापन 'प्रति इकाई बल/आघूर्ण विस्थापन या घूर्णन' है।

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Option A: $Rotation(	heta) / Moment(M)$

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Option B: $Rotation(	heta)$

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Option C: $Moment(M) / 2Rotation(	heta)$

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