रैखिक और निष्क्रिय तत्वों वाली तीन-चरण ट्रांसपोज्ड ट्रांसमिशन लाइन के ABCD स्थिरांक

Question

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C: A और D बराबर होते हैं

Explanation & Concepts:
रैखिक, निष्क्रिय और द्विपक्षीय तत्वों से बनी तीन-चरण ट्रांसमिशन लाइन के लिए, ABCD मैट्रिक्स एक पारस्परिक नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करता है। पारस्परिक प्रमेय (Reciprocity Theorem) के अनुसार, ऐसे नेटवर्क के लिए, $AD - BC = 1$ की स्थिति संतुष्ट होनी चाहिए, और एक सममित लाइन के लिए, स्थिरांक A और D हमेशा बराबर होते हैं।

Working Principle: ट्रांसमिशन लाइन एक टू-पोर्ट नेटवर्क है। यदि नेटवर्क रैखिक और निष्क्रिय है, तो यह पारस्परिक है, जिसका अर्थ है कि इसके ट्रांसमिशन मैट्रिक्स का निर्धारक इकाई ($AD - BC = 1$) है। यदि लाइन अतिरिक्त रूप से सममित है (जो एक ट्रांसपोज्ड ट्रांसमिशन लाइन के लिए सत्य है), तो इनपुट और आउटपुट स्थितियां समान होती हैं, जिससे $A = D$ होना अनिवार्य हो जाता है।

Key Formulas: $AD - BC = 1$ — पारस्परिकता के लिए शर्त; $A = D$ — टू-पोर्ट नेटवर्क में सममिति के लिए शर्त

Key Points: ट्रांसपोज्ड लाइनें चरणों के बीच सममिति सुनिश्चित करती हैं।; निष्क्रिय नेटवर्क पारस्परिकता प्रमेय का पालन करते हैं।; किसी भी टू-पोर्ट नेटवर्क के लिए, स्थिरांक A ओपन सर्किट पर इनपुट वोल्टेज और आउटपुट वोल्टेज के अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है।; सममित लाइनों के लिए, वोल्टेज अनुपात समान होता है, चाहे किसी भी छोर को इनपुट माना जाए।

Advantages: शक्ति प्रवाह गणनाओं का सरलीकरण।; PI या T मॉडल का उपयोग करके लंबी ट्रांसमिशन लाइनों का आसान विश्लेषण संभव बनाता है।

Disadvantages: केवल रैखिक और निष्क्रिय तत्वों पर लागू होता है।; यदि सिस्टम में पावर इलेक्ट्रॉनिक्स या गैर-रैखिक भार जैसे सक्रिय घटक शामिल हैं, तो यह लागू नहीं होता है।

Applications: पावर सिस्टम की स्थिर-अवस्था स्थिरता का विश्लेषण।; ट्रांसमिशन सिस्टम के वोल्टेज विनियमन और दक्षता की गणना।

Additional Info: एक टू-पोर्ट नेटवर्क में जिसे $\begin{bmatrix} V_s \ I_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_r \ I_r \end{bmatrix}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, सममिति के लिए $A=D$ होना आवश्यक है।. विकल्प D (B और C बराबर हैं) गलत है क्योंकि B प्रतिबाधा (impedance) और C प्रवेश्यता (admittance) का प्रतिनिधित्व करता है; उनके आयाम भिन्न हैं और वे आम तौर पर बराबर नहीं होते हैं।

Answer: C सही है — एक सममित, निष्क्रिय टू-पोर्ट नेटवर्क में जो एक ट्रांसपोज्ड ट्रांसमिशन लाइन का प्रतिनिधित्व करता है, ट्रांसमिशन स्थिरांक A और D हमेशा बराबर होते हैं।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि पारस्परिक नेटवर्क के लिए $AD - BC = 1$ और सममित नेटवर्क के लिए $A = D$ होता है; ये विद्युत शक्ति प्रणालियों में किसी भी ABCD स्थिरांक समस्या को हल करने के लिए मूलभूत हैं।

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Option A: हमेशा बराबर होते हैं

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Option B: कभी बराबर नहीं होते

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Option D: B और C बराबर होते हैं

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