H पर सीमा स्थितियां (boundary conditions) हैं

Question

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B: $a_n \cdot (H_1 - H_2) = J_s$

Explanation & Concepts:
दो अलग-अलग माध्यमों के बीच इंटरफेस पर चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता (H) के स्पर्शरेखा घटक (tangential component) के लिए सीमा स्थिति यह बताती है कि H का स्पर्शरेखा घटक सतह धारा घनत्व (surface current density) $J_s$ के बराबर मात्रा से असंतत (discontinuous) होता है। गणितीय रूप से, इसे सामान्य इकाई वेक्टर और H क्षेत्रों के अंतर के क्रॉस उत्पाद (cross product) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

Working Principle: यह स्थिति एम्पीयर के परिपथीय नियम (Ampere's Circuital Law) के समाकल रूप, $\oint H \cdot dl = I_{enc}$ से ली गई है। इसे दो माध्यमों के बीच के इंटरफेस को पार करने वाले एक छोटे आयताकार लूप पर लागू करने से, इंटरफेस के लंबवत पक्षों के साथ रेखा समाकल (line integral) शून्य हो जाता है जैसे ही लूप की ऊंचाई शून्य की ओर बढ़ती है, जिससे केवल H के स्पर्शरेखा घटक और संलग्न सतह धारा $J_s$ शेष बचते हैं।

Key Formulas: $a_n 	imes (H_1 - H_2) = J_s$ — H के लिए स्पर्शरेखा सीमा स्थिति का वेक्टर रूप; $a_n \cdot (B_1 - B_2) = 0$ — चुंबकीय फ्लक्स घनत्व B के सामान्य घटक के लिए सीमा स्थिति

Key Points: इस स्थिति में सामान्य वेक्टर और क्षेत्र के अंतर के बीच क्रॉस उत्पाद ($ 	imes $) शामिल होता है।; यदि इंटरफेस पूरी तरह से सुचालक (perfectly conducting) है, तो $J_s$ परिमित होता है।; यदि सामग्री गैर-चालक है, तो $J_s = 0$, जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा H निरंतर है।; इकाई सामान्य वेक्टर $a_n$ माध्यम 2 से माध्यम 1 की ओर इंगित करता है।

Advantages: बहु-परावैद्युत/चुंबकीय क्षेत्रों में क्षेत्रों के समाधान की अनुमति देता है।; सीमाओं के पार क्षेत्रों को संबंधित करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।

Disadvantages: सतह धारा घनत्व के ज्ञान की आवश्यकता होती है।; कार्तीय (Cartesian) के अलावा अन्य समन्वय प्रणालियों में जटिल हो सकता है।

Applications: ट्रांसमिशन लाइनों और वेवगाइड्स का विश्लेषण।; विद्युत चुम्बकीय परिरक्षण (shielding) का डिजाइन।; विद्युत मशीनों में क्षेत्र वितरण की गणना।

Additional Info: मूल प्रश्न के प्रदान किए गए उत्तर में पाठ में डॉट उत्पाद का उपयोग किया गया था, जो H क्षेत्र की सीमा स्थितियों के लिए गणितीय रूप से गलत है; क्रॉस उत्पाद सही ऑपरेटर है।. नोट: सही विकल्प A सही वेक्टर क्रॉस उत्पाद अंकन को दर्शाता है।

Answer: A सही है — चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता (H) का स्पर्शरेखा घटक $a_n 	imes (H_1 - H_2) = J_s$ द्वारा नियंत्रित होता है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि B के सामान्य घटक निरंतर होते हैं ($B_{1n} = B_{2n}$), जबकि H के स्पर्शरेखा घटक सतह धाराओं से संबंधित होते हैं; इन व्युत्पत्तियों में डॉट उत्पादों को क्रॉस उत्पादों के साथ भ्रमित न करें।

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Option A: $a_n 	imes (H_1 - H_2) = J_s$

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Option C: $H_{1t} = H_{2t}$

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Option D: उपरोक्त में से कोई नहीं

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