एक गैर-चुंबकीय सीधे ठोस गोलाकार चालक की प्रति मीटर लंबाई के आंतरिक फ्लक्स-लिंकेज के कारण घटक अधिष्ठापन (induct

Question

एक गैर-चुंबकीय सीधे ठोस गोलाकार चालक की प्रति मीटर लंबाई के आंतरिक फ्लक्स-लिंकेज के कारण घटक अधिष्ठापन (inductance) का मान स्थिर होता है, और यह चालक के व्यास से स्वतंत्र होता है, क्योंकि

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B: चालक के केंद्र से त्रिज्यीय दूरी के साथ आंतरिक चुंबकीय फ्लक्स-घनत्व, संलग्न धारा के अनुपात में बढ़ता है

Explanation & Concepts:
एक चालक का आंतरिक अधिष्ठापन धारा प्रवाह के कारण चालक के आयतन के भीतर संग्रहीत चुंबकीय ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। एक समान धारा वितरण वाले गैर-चुंबकीय गोलाकार चालक के लिए, यह मान स्थिर होता है क्योंकि चालक के अंदर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता त्रिज्यीय दूरी के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है, और प्रति इकाई लंबाई फ्लक्स लिंकेज कुल त्रिज्या से स्वतंत्र हो जाता है।

Working Principle: एम्पीयर के परिपथीय नियम (Ampere's circuital law) का उपयोग करते हुए, त्रिज्या $R$ वाले चालक के अंदर $r$ त्रिज्या पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H_r = \frac{I_r}{2\pi r}$ होती है। समान धारा घनत्व के साथ, $r$ त्रिज्या पर संलग्न धारा $I_r = I \cdot \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = I \cdot \frac{r^2}{R^2}$ है। इस प्रकार, $H_r = \frac{I r}{2\pi R^2}$। आंतरिक फ्लक्स लिंकेज $\lambda_{int}$ को क्रॉस-सेक्शन पर फ्लक्स घनत्व को एकीकृत करके प्राप्त किया जाता है, जिससे $L_{int} = \frac{\mu_0}{8\pi}$ हेनरी प्रति मीटर का आंतरिक अधिष्ठापन प्राप्त होता है, जो चालक की त्रिज्या $R$ से स्वतंत्र एक स्थिरांक है।

Key Formulas: $L_{int} = \frac{\mu_0}{8\pi}$ — ठोस गोलाकार चालक का प्रति इकाई लंबाई आंतरिक अधिष्ठापन; $H_r = \frac{I r}{2\pi R^2}$ — चालक के अंदर $r$ त्रिज्या पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता

Key Points: एक ठोस बेलनाकार चालक के लिए आंतरिक अधिष्ठापन चालक की त्रिज्या $R$ से स्वतंत्र होता है।; समान धारा घनत्व की धारणा $L_{int} = \frac{\mu_0}{8\pi}$ के स्थिर मान के लिए महत्वपूर्ण है।; गैर-चुंबकीय सामग्रियों के लिए, सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1$ होती है, जिससे $\mu = \mu_0$ हो जाता है।; संलग्न धारा क्षेत्र में कमी के कारण $r$ बढ़ने पर आंतरिक फ्लक्स लिंकेज घटता है, जो बढ़ते फ्लक्स पथ की लंबाई के प्रभाव को पूरी तरह से रद्द कर देता है।

Advantages: ट्रांसमिशन लाइन प्रतिबाधा की गणना को सरल बनाता है; निम्न-आवृत्ति विद्युत प्रणाली विश्लेषण के लिए एक पूर्वानुमानित पैरामीटर प्रदान करता है

Disadvantages: उच्च आवृत्तियों पर स्किन इफेक्ट (skin effect) को ध्यान में नहीं रखता है; स्थिर सामग्री गुणों (गैर-चुंबकीय) को मानता है

Applications: GMR (ज्यामितीय माध्य त्रिज्या) की गणना; ट्रांसमिशन लाइन श्रेणी प्रतिबाधा निर्धारण

Additional Info: आंतरिक अधिष्ठापन का मानक मान $0.5 	imes 10^{-7} H/m$ या $0.05 \mu H/m$ है।. विकल्प D भी एक योगदान कारक है, लेकिन B उस भौतिक आनुपातिकता की व्याख्या करता है जो विशिष्ट निरंतर परिणाम की ओर ले जाती है।

Answer: B सही है — आंतरिक चुंबकीय फ्लक्स-घनत्व वितरण और संलग्न धारा वितरण मिलकर एक ऐसा आंतरिक अधिष्ठापन उत्पन्न करते हैं जो गणितीय रूप से चालक की त्रिज्या से स्वतंत्र होता है।

Exam Tip: याद रखें कि जबकि आंतरिक अधिष्ठापन स्थिर ($0.05 \mu H/m$) होता है, बाहरी अधिष्ठापन चालकों के बीच की दूरी ($GMD/GMR$) पर लघुगणकीय (logarithmically) रूप से निर्भर करता है।

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Option A: धारा के कारण सभी आंतरिक फ्लक्स चालक के परिधीय क्षेत्र पर केंद्रित रहता है

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Option C: पूरी धारा को चालक अक्ष के साथ बहने वाला माना जाता है और आंतरिक फ्लक्स समान रूप से और संकेंद्रित रूप से वितरित होता है

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Option D: चालक में धारा को पूरे चालक के क्रॉस-सेक्शन में समान रूप से वितरित माना जाता है

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