वक्र (curve) के शीर्ष बिंदु (apex point) से दीर्घ जीवा (long chord) के मध्य बिंदु की दूरी को ___ कहा जाता है।

Question

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C: मध्य कोटि दूरी (Mid ordinate distance)

Explanation & Concepts:
वक्र के शीर्ष बिंदु (सर्वोच्च बिंदु) से दीर्घ जीवा के मध्य बिंदु की दूरी को मध्य कोटि दूरी (या वक्र की नत ज्या / versed sine) कहा जाता है। यह केंद्र बिंदु पर दीर्घ जीवा के ऊपर वक्र की ऊंचाई को दर्शाती है।

Working Principle: एक सरल वृत्ताकार वक्र में, मध्य कोटि $M$ को केंद्र कोण $\Delta$ को समद्विभाजित करने वाली त्रिज्या रेखा के अनुदिश मापा जाता है। यह ज्यामितीय रूप से वृत्त की त्रिज्या में से वृत्त के केंद्र से दीर्घ जीवा तक की दूरी को घटाकर प्राप्त किया जाता है।

Key Formulas: $M = R \left(1 - \cos\frac{\Delta}{2}ight)$ — त्रिज्या ($R$) और विक्षेपण कोण (deflection angle, $\Delta$) के पदों में मध्य कोटि; $M = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}ight)^2}$ — त्रिज्या ($R$) और दीर्घ जीवा ($L$) के पदों में मध्य कोटि; $E = R \left(\sec\frac{\Delta}{2} - 1ight)$ — बाह्य दूरी (शीर्ष दूरी)

Key Points: मध्य कोटि ($M$) वृत्ताकार वक्र के शीर्ष बिंदु से दीर्घ जीवा के मध्य बिंदु की दूरी है।; बाह्य दूरी ($E$) शीर्ष/प्रतिच्छेदन बिंदु ($V$) से वक्र के शीर्ष (apex) की दूरी है।; दीर्घ जीवा ($L$) वक्र के प्रारंभिक बिंदु ($T_1$) और स्पर्शरेखा बिंदु ($T_2$) को जोड़ने वाली सीधी रेखा है।

Applications: दीर्घ जीवा से ऑफसेट विधि (offset from long chord method) का उपयोग करके क्षेत्र सर्वेक्षण में सरल वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करना।; सपाट सड़क संरेखण और रेलवे वक्रों का डिजाइन तैयार करना।

Additional Info: विकल्प A (स्पर्शरेखा दूरी): शीर्ष ($V$) से वक्र बिंदु ($T_1$) या स्पर्श बिंदु ($T_2$) तक की दूरी। सूत्र: $T = R 	an(\Delta/2)$।. विकल्प B (दीर्घ जीवा की लंबाई): प्रारंभिक स्पर्श रेखा बिंदु ($T_1$) और अंतिम स्पर्श रेखा बिंदु ($T_2$) के बीच की कुल दूरी। सूत्र: $L = 2R \sin(\Delta/2)$।. विकल्प D (बाह्य दूरी): प्रतिच्छेदन बिंदु ($V$) से समद्विभाजक के अनुदिश वृत्ताकार वक्र के मध्य बिंदु तक की दूरी।

Answer: C सही है — मध्य कोटि दूरी को वक्र के शीर्ष बिंदु और उसकी दीर्घ जीवा के मध्य बिंदु के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।

Exam Tip: याद रखें कि मध्य कोटि $R(1 - \cos\frac{\Delta}{2})$ होती है जबकि बाह्य दूरी $R(\sec\frac{\Delta}{2} - 1)$ होती है; दोनों एक ही समद्विभाजक रेखा पर स्थित होती हैं जो वक्र के शीर्ष पर मिलती हैं।

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Option A: स्पर्शरेखा दूरी (Tangent distance)

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Option B: दीर्घ जीवा की लंबाई (Length of long chord)

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Option D: बाह्य दूरी (External distance)

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