निम्नलिखित में से कौन सी दूरी प्रतिच्छेदन बिंदु से वक्र के शीर्ष बिंदु (Apex point) के बीच की दूरी है?

Question

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D: बाहरी दूरी (External distance)

Explanation & Concepts:
बाहरी दूरी (जिसे शीर्ष दूरी या apex distance भी कहा जाता है) प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) और एक साधारण वृत्ताकार वक्र के शीर्ष बिंदु (उच्चतम बिंदु या मध्य बिंदु) के बीच की दूरी है। यह दो स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन और वक्र के केंद्र रेखा वर्टेक्स के बीच की स्पष्ट दूरी को दर्शाती है।

Working Principle: वृत्ताकार वक्र ज्यामिति में, प्रतिच्छेदन बिंदु से वक्र के केंद्र तक की छेदक रेखा (secant line) वक्र पर शीर्ष बिंदु से होकर गुजरती है। त्रिज्या, स्पर्शरेखा और छेदक द्वारा गठित समकोण त्रिभुज पर त्रिकोणमिति द्वारा, प्रतिच्छेदन बिंदु से वक्र के शीर्ष तक की दूरी $E = R (\sec(\Delta/2) - 1)$ के रूप में प्राप्त की जाती है।

Key Formulas: $E = R \left(\sec\frac{\Delta}{2} - 1ight)$ — त्रिज्या ($R$) और विक्षेपण कोण ($\Delta$) के पदों में बाहरी दूरी ($E$); $E = R \cdot 	an\frac{\Delta}{2} \cdot 	an\frac{\Delta}{4}$ — बाहरी दूरी के लिए वैकल्पिक रूप; $T = R 	an\frac{\Delta}{2}$ — स्पर्शरेखा दूरी ($T$); $M = R \left(1 - \cos\frac{\Delta}{2}ight)$ — मध्य कोटि दूरी ($M$)

Key Points: बाहरी दूरी ($E$) को PI से शीर्ष बिंदु तक विक्षेपण कोण $\Delta$ के द्विभाजक के साथ मापा जाता है।; शीर्ष बिंदु (Apex point) एक शिखर वक्र का उच्चतम बिंदु या एक साधारण वृत्ताकार चाप का मध्य बिंदु होता है।; पहाड़/पहाड़ी कटाई या तटबंध (embankment) सीमाओं को निर्धारित करने के लिए सड़क डिजाइन में बाहरी दूरी महत्वपूर्ण है।

Applications: राजमार्ग संरेखण डिजाइन के दौरान संपत्ति रेखा मंजूरी का निर्धारण करना।; वक्र के शीर्षों और घाटी केंद्रों पर उत्खनन गहराई या मंजूरी मांगों की गणना करना।

Additional Info: विकल्प A गलत है: स्पर्शरेखा दूरी प्रारंभ बिंदु (T1) या स्पर्शरेखा बिंदु (T2) से प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) की दूरी है।. विकल्प B गलत है: दीर्घ जीवा की लंबाई स्पर्शरेखा बिंदुओं T1 और T2 के बीच की सीधी दूरी है।. विकल्प C गलत है: मध्य कोटि दूरी दीर्घ जीवा के मध्य बिंदु और वक्र के शीर्ष बिंदु के बीच की दूरी है।

Answer: D सही है — प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) से कोण द्विभाजक के साथ वक्र के शीर्ष बिंदु तक मापी गई दूरी को बाहरी दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है।

Exam Tip: याद रखें कि $E = R(\sec(\Delta/2) - 1)$ जबकि $M = R(1 - \cos(\Delta/2))$; उनका संबंध $M = R - \sqrt{R^2 - (L/2)^2}$ के रूप में भी व्यक्त किया जाता है जहाँ $L$ दीर्घ जीवा की लंबाई है।

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Option A: स्पर्शरेखा दूरी (Tangent distance)

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Option B: दीर्घ जीवा की लंबाई (Length of long chord)

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Option C: मध्य कोटि दूरी (Mid ordinate distance)

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