वक्र के बिंदु (Point of curve) से प्रतिच्छेदन बिंदु (Intersection point) के बीच की दूरी को क्या कहा जाता है?

Question

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A: स्पर्शरेखा दूरी (Tangent distance)

Explanation & Concepts:
एक साधारण वृत्ताकार वक्र में स्पर्शरेखा दूरी (या स्पर्शरेखा लंबाई) वक्र के बिंदु (PC या T₁) से प्रतिच्छेदन बिंदु (PI या V) तक, या प्रतिच्छेदन बिंदु से स्पर्श रेखा के बिंदु (PT या T₂) तक स्पर्शरेखाओं के अनुदिश दूरी होती है। यह वृत्ताकार चाप शुरू होने से पहले या समाप्त होने के बाद पिछली या अगली स्पर्शरेखा के अनुदिश सीधी दूरी को दर्शाती है।

Working Principle: राजमार्ग और रेलवे सर्वेक्षण में, सुगम परिवर्तन (smooth transitions) सुनिश्चित करने के लिए सीधी रेखाओं (स्पर्शरेखाओं) को वृत्ताकार चापों द्वारा जोड़ा जाता है। दो सीधी स्पर्शरेखाएँ विचलन कोण Δ पर प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) पर प्रतिच्छेद करती हैं। वक्र, वक्र के बिंदु (PC) से शुरू होता है और स्पर्श रेखा के बिंदु (PT) पर समाप्त होता है। वक्र के केंद्र, PC और PI द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज की ज्यामिति द्वारा, साधारण त्रिकोणमिति का उपयोग करके स्पर्शरेखा दूरी व्युत्पन्न की जाती है।

Key Formulas: $T = R 	an\left(\frac{\Delta}{2}ight)$ — स्पर्शरेखा दूरी ($T$) सूत्र जहाँ $R$ त्रिज्या है और $\Delta$ विचलन कोण है; $L = 2R \sin\left(\frac{\Delta}{2}ight)$ — दीर्घ जीवा की लंबाई ($L$); $E = R \left(\sec\left(\frac{\Delta}{2}ight) - 1ight)$ — वाह्य दूरी ($E$); $M = R \left(1 - \cos\left(\frac{\Delta}{2}ight)ight)$ — मध्य-कोटि दूरी ($M$)

Key Points: वक्र का बिंदु (PC) वह शुरुआती बिंदु है जहाँ सीधी संरेखण वृत्ताकार वक्र को स्पर्श करती है।; प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) वह बिंदु है जहाँ पश्च स्पर्शरेखा और अग्र स्पर्शरेखा प्रतिच्छेद करती हैं।; एक साधारण वृत्ताकार वक्र में PC से PI तक ($T_1V$) और PT से PI तक ($T_2V$) स्पर्शरेखा दूरियाँ बराबर होती हैं।

Applications: सर्वेक्षण के दौरान सड़कों, रेलवे और पाइपलाइनों पर वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करना।; PC और PT जैसे महत्वपूर्ण वक्र बिंदुओं के चेनेज (chainages) की गणना करना।

Additional Info: विकल्प B (दीर्घ जीवा की लंबाई) वक्र के बिंदु (PC) को स्पर्श रेखा के बिंदु (PT) से जोड़ने वाली सीधी दूरी है।. विकल्प C (मध्य कोटि दूरी) दीर्घ जीवा के मध्य बिंदु से वक्र के शीर्ष तक की दूरी है।. विकल्प D (वाह्य दूरी) प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) से वक्र के शीर्ष तक की दूरी है।

Answer: A सही है — स्पर्शरेखा दूरी को वक्र के बिंदु (PC) और प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है।

Exam Tip: तेज गणनाओं के लिए वक्र घटकों का क्रम याद रखें: स्पर्शरेखा के लिए $T = R 	an(\Delta/2)$, जबकि $E = R [\sec(\Delta/2) - 1]$ PI से चाप के मध्य-बिंदु तक मापी गई वाह्य दूरी देता है।

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Option B: दीर्घ जीवा की लंबाई (Length of long chord)

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Option C: मध्य कोटि दूरी (Mid ordinate distance)

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Option D: वाह्य दूरी (External distance)

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