वक्र की लंबाई के लिए सूत्र ____________ द्वारा दिया जा सकता है

Question

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D: A या B में

Explanation & Concepts:
राजमार्ग या रेलवे इंजीनियरिंग में एक वृत्ताकार वक्र की लंबाई को वक्र के केंद्र पर विक्षेपण कोण $\Delta$ द्वारा अंतरित चाप लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। कोण के लिए उपयोग की जाने वाली इकाइयों के आधार पर इसे रेडियन या डिग्री में व्यक्त किया जा सकता है।

Working Principle: $R$ त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार वक्र के लिए, चाप की लंबाई $l$ की गणना सेक्टर सूत्र का उपयोग करके की जाती है। जब $\Delta$ डिग्री में हो, तो $l = \frac{\pi R \Delta}{180^\circ}$ होता है। जब $\Delta$ को रेडियन में व्यक्त किया जाता है, तो सूत्र सरल होकर $l = R 	imes \Delta$ हो जाता है। चूंकि दोनों सूत्र समान भौतिक चाप लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए कोई भी निरूपण गणितीय रूप से सही है।

Key Formulas: $l = R 	imes \Delta$ — जहाँ $\Delta$ रेडियन में है; $l = \frac{\pi R \Delta}{180^\circ}$ — जहाँ $\Delta$ डिग्री में है

Key Points: विक्षेपण कोण $\Delta$, एक वृत्ताकार वक्र की दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण है।; सूत्र $l = R \Delta$ एक वृत्त में चाप की लंबाई के मूल संबंध से प्राप्त होता है जहाँ कोण रेडियन में होता है।; डिग्री और रेडियन के बीच रूपांतरण में $\frac{\pi}{180}$ से गुणा करना शामिल है।

Advantages: निर्माण योजना के लिए ट्रैक या सड़क की लंबाई की गणना करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है।; राजमार्ग और रेलवे इंजीनियरिंग डिजाइन दोनों के लिए लागू है।

Disadvantages: पूरी तरह से वृत्ताकार पथ मानता है; संक्रमण वक्रों (transition curves) को ध्यान में नहीं रखता है।; विक्षेपण कोण और त्रिज्या के सटीक सर्वेक्षण की आवश्यकता होती है।

Applications: राजमार्ग संरेखण डिजाइन; रेलवे ट्रैक सर्वेक्षण; सिंचाई नहर पथ लेआउट

Additional Info: सर्वेक्षण अभ्यास में, $\Delta$ को अक्सर डिग्री, मिनट और सेकंड में मापा जाता है, जिसके लिए रूपांतरण कारक $\frac{\pi}{180}$ का उपयोग करना आवश्यक होता है।. दोनों विकल्प समतुल्य ज्यामितीय परिभाषाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं; इसलिए, सही विकल्प यह है कि दोनों व्यंजक मान्य हैं।

Answer: D सही है — चूंकि दोनों व्यंजक गणितीय रूप से $\Delta$ की इकाई के आधार पर एक वृत्ताकार वक्र की चाप लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए A और B दोनों सही हैं।

Exam Tip: कोई भी सूत्र चुनने से पहले हमेशा विक्षेपण कोण ($\Delta$) की इकाइयों की जाँच करें; $l = R\Delta$ का उपयोग करने से पहले डिग्री को रेडियन में बदलने में विफलता एक सामान्य गणना त्रुटि है।

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Option A: $l = \frac{R \Delta \pi}{180}$

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Option B: $l = R 	imes \Delta$

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Option C: A और B दोनों

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