मध्य-ऑर्डिनेट (Mid-ordinate) को __________ के रूप में भी जाना जाता है।

Question

Examoogle · Accepted Answer

The correct answer is B: उत्क्रम ज्या (Versed sine). साधारण वृत्ताकार वक्र ज्यामिति में, मध्य-ऑर्डिनेट (जिसे उत्क्रम ज्या या versed sine भी कहा जाता है) लंबी जीवा के मध्य बिंदु से वक्र के मध्य बिंदु तक की दूरी है। यह केंद्रीय त्रिज्यीय रेखा के साथ मापी गई वक्र और उसकी लंबी जीवा के बीच की अधिकतम दूरी को दर्शाता है। इसके विपरीत, शीर्ष दूरी (या बाहरी दूरी), प्रतिच्छेदन बिंदु से वक्र के शीर्ष तक की दूरी है।

Step-by-Step Solution & Concepts:
साधारण वृत्ताकार वक्र ज्यामिति में, मध्य-ऑर्डिनेट (जिसे उत्क्रम ज्या या versed sine भी कहा जाता है) लंबी जीवा के मध्य बिंदु से वक्र के मध्य बिंदु तक की दूरी है। यह केंद्रीय त्रिज्यीय रेखा के साथ मापी गई वक्र और उसकी लंबी जीवा के बीच की अधिकतम दूरी को दर्शाता है। इसके विपरीत, शीर्ष दूरी (या बाहरी दूरी), प्रतिच्छेदन बिंदु से वक्र के शीर्ष तक की दूरी है।

Working Principle: 'उत्क्रम ज्या' (versed sine) शब्द शास्त्रीय त्रिकोणमिति से आया है, जहाँ $	ext{versin}(	heta) = 1 - \cos(	heta)$ होता है। त्रिज्या $R$ और विक्षेपण कोण $Delta$ वाले वृत्ताकार वक्र के लिए, आधे वक्र द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण $Delta/2$ होता है। वक्र के केंद्र से लंबी जीवा की दूरी $R \cos(\Delta/2)$ होती है, जिससे मध्य-ऑर्डिनेट $R - R \cos(\Delta/2) = R(1 - \cos(\Delta/2))$ के बराबर हो जाता है, जो सीधे उत्क्रम ज्या फ़ंक्शन का उपयोग करता है।

Key Formulas: $M = R \left(1 - \cos\left(\frac{\Delta}{2}ight)ight)$ — त्रिज्या $R$ और विक्षेपण कोण $\Delta$ के संदर्भ में मध्य-ऑर्डिनेट (उत्क्रम ज्या); $M = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}ight)^2}$ — त्रिज्या $R$ और लंबी जीवा लंबाई $L$ के संदर्भ में मध्य-ऑर्डिनेट; $E = R \left(\sec\left(\frac{\Delta}{2}ight) - 1ight)$ — बाहरी दूरी (शीर्ष दूरी)

Key Points: मध्य-ऑर्डिनेट ($M$) को लंबी जीवा के मध्य बिंदु से वक्र के शीर्ष तक मापा जाता है।; यह गणितीय रूप से त्रिज्या से गुणा किए गए आधे विक्षेपण कोण की उत्क्रम ज्या के बराबर है।; शीर्ष दूरी ($E$) प्रतिच्छेदन बिंदु ($V$) से वक्र के शीर्ष ($C$) तक मापी जाती है।; लंबी जीवा की लंबाई ($L$) $L = 2R \sin(\Delta/2)$ द्वारा दी जाती है।

Advantages: लंबी जीवा से ऑफसेट की विधि द्वारा साधारण वृत्ताकार वक्रों को स्थापित करने में उपयोगी।; वक्र सममिति और संरेखण सटीकता की त्वरित फ़ील्ड जाँच प्रदान करता है।

Disadvantages: मध्य-ऑर्डिनेट का उपयोग करके वक्र स्थापित करना केवल छोटे वक्रों या छोटी त्रिज्या के लिए उपयुक्त है।; लंबी जीवा को मापने में त्रुटियाँ सीधे परिकलित मध्य-ऑर्डिनेट में फैल जाती हैं।

Applications: सड़क और रेलवे सर्वेक्षण कार्य में वृत्ताकार वक्र स्थापित करना।; क्षैतिज राजमार्ग वक्रों पर दृष्टि दूरी और निकासी का निर्धारण करना।

Additional Info: शीर्ष दूरी (विकल्प A) बाहरी दूरी ($E$) है, जो प्रतिच्छेदन बिंदु ($V$) से वक्र के शिखर/शीर्ष ($C$) तक की दूरी है।. विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि मध्य-ऑर्डिनेट सख्ती से उत्क्रम ज्या का समानार्थी है, न कि शीर्ष दूरी का।

Answer: B सही है — मध्य-ऑर्डिनेट को लंबी जीवा के मध्य बिंदु से वक्र के मध्य बिंदु तक की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है, जो गणितीय रूप से केंद्रीय कोण के आधे की उत्क्रम ज्या (versed sine) के अनुरूप है।

Exam Tip: प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए याद रखें: उत्क्रम ज्या $= 1 - \cos	heta$, इसलिए मध्य-ऑर्डिनेट $= R \cdot 	ext{versin}(\Delta/2)$। इसे बाहरी दूरी (शीर्ष दूरी) के साथ भ्रमित न करें, जो $\sec(\Delta/2) - 1$ का उपयोग करती है।

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Option A: शीर्ष दूरी (Apex distance)

Examoogle · Answer

Option C: A और B दोनों

Examoogle · Answer

Option D: A या B में

Feature	मध्य-ऑर्डिनेट (उत्क्रम ज्या)	शीर्ष दूरी (बाहरी दूरी)
परिभाषा	लंबी जीवा के मध्य बिंदु से वक्र के शीर्ष तक की दूरी	प्रतिच्छेदन बिंदु (PI) से वक्र के शीर्ष तक की दूरी
सूत्र	$M = R(1 - \cos(\Delta/2))$	$E = R(\sec(\Delta/2) - 1)$
मापन रेखा	त्रिज्यीय रेखा के साथ जीवा और चाप के बीच स्थित है	त्रिज्यीय रेखा के साथ शीर्ष और चाप के बीच स्थित है

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