एकल चरण दो-तार विद्युत पारेषण लाइन का प्रति किलोमीटर प्रेरकत्व (inductance) दोगुना हो जाता है जब

Question

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C: तारों के बीच की दूरी मूल दूरी के वर्ग के रूप में बढ़ाई जाती है

Explanation & Concepts:
एकल-चरण दो-तार पारेषण लाइन का प्रेरकत्व $L$, चालकों के बीच की दूरी ($D$) और चालक की त्रिज्या ($r$) के अनुपात पर लघुगणकीय (logarithmically) रूप से निर्भर करता है। चूँकि निर्भरता $L \propto \ln(D/r)$ है, इसलिए प्रेरकत्व को दोगुना करने के लिए अनुपात $D/r$ का वर्ग होना आवश्यक है, जिसका अर्थ है कि $D$ को मूल दूरी के वर्ग के रूप में बढ़ाया जाना चाहिए।

Working Principle: दो-तार लाइन का प्रेरकत्व $L = 4 	imes 10^{-7} \ln(D/r') 	ext{ H/m}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r' = 0.7788r$ चालक का GMR है। प्रेरकत्व $L_1$ को $L_2 = 2L_1$ तक दोगुना करने के लिए, हम $\ln(D_2/r') = 2 \ln(D_1/r')$ रखते हैं। लघुगणक गुणों के अनुसार, यह $\ln(D_2/r') = \ln((D_1/r')^2)$ में सरल हो जाता है, जिसका अर्थ है $D_2 = (D_1^2 / r')$। अतः, दूरी को GMR द्वारा स्केल किए गए मूल मान के वर्ग तक बढ़ना चाहिए।

Key Formulas: $L = 4 	imes 10^{-7} \ln\left(\frac{D}{r'}ight) 	ext{ H/m}$ — एकल-चरण दो-तार लाइन का प्रेरकत्व; $r' = 0.7788r$ — ठोस बेलनाकार चालक का ज्यामितीय माध्य त्रिज्या (GMR)

Key Points: प्रेरकत्व मुख्य रूप से चालकों के बीच चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज द्वारा निर्धारित होता है।; पद $\ln(D/r')$ धारा लूप के कारण फ्लक्स लिंकेज का प्रतिनिधित्व करता है।; दूरी $D$ बढ़ाने से लूप का क्षेत्रफल बढ़ता है, जिससे प्रेरकत्व बढ़ जाता है।; लघुगणकीय निर्भरता का अर्थ है कि $D$ में रैखिक परिवर्तन प्रेरकत्व में गैर-रैखिक परिवर्तनों का परिणाम देते हैं।

Advantages: अधिक दूरी ग्राउंड-कपलिंग कैपेसिटेंस को कम करती है।; गणितीय मॉडल लाइन प्रतिबाधा की सटीक भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है।

Disadvantages: दूरी बढ़ने से लाइन का रिएक्शन (reactance) बढ़ जाता है।; अधिक दूरी पारेषण टावरों के भौतिक आकार और लागत को बढ़ाती है।

Applications: ओवरहेड पारेषण लाइनों का डिज़ाइन।; विद्युत प्रणालियों में वोल्टेज विनियमन और पावर फ्लो की गणना।

Additional Info: मानक मान: $r$ चालक की त्रिज्या है, $D$ चालक केंद्रों के बीच की दूरी है।. विकल्प A/B गलत हैं क्योंकि संबंध लघुगणकीय है, सरल अनुपात में रैखिक या घात-आधारित नहीं; विशेष रूप से $L \propto \ln(D)$, न कि $L \propto D$।

Answer: C सही है — क्योंकि प्रेरकत्व दूरी के साथ लघुगणकीय संबंध का पालन करता है, कुल प्रेरकत्व मान को दोगुना करने के लिए दूरी को GMR कारक के सापेक्ष वर्गित किया जाना चाहिए।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि पारेषण लाइन पैरामीटर गणना में, आंतरिक प्रेरकत्व ($1/2 	imes 10^{-7}$) दूरी की परवाह किए बिना स्थिर रहता है, जबकि बाहरी प्रेरकत्व दूरी के लॉग पर निर्भर करता है।

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Option A: तारों के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाती है

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Option B: तारों के बीच की दूरी चार गुना बढ़ा दी जाती है

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Option D: तार की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है

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