ट्रांसमिशन लाइन का प्रोपेगेशन कांस्टेंट (प्रसार नियतांक) है

Question

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A: $j\omega\sqrt{LC}$

Explanation & Concepts:
प्रोपेगेशन कांस्टेंट, जिसे $\gamma$ द्वारा दर्शाया जाता है, एक सम्मिश्र (complex) राशि है जो ट्रांसमिशन लाइन के साथ यात्रा करने वाली तरंग के आयाम (amplitude) और चरण (phase) में परिवर्तन को दर्शाती है। इसे प्रति इकाई लंबाई के मूलभूत मापदंडों: प्रतिरोध $R$, प्रेरकत्व $L$, चालकता $G$, और धारिता $C$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जो इस व्यंजक $\gamma = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}$ द्वारा दिया जाता है।

Working Principle: एक आदर्श (lossless) ट्रांसमिशन लाइन के लिए जहाँ प्रतिरोध $R = 0$ और चालकता $G = 0$ है, प्रोपेगेशन कांस्टेंट सरल होकर $\gamma = \sqrt{(j\omega L)(j\omega C)}$ हो जाता है। इसका मूल्यांकन करने पर $\gamma = \sqrt{j^2\omega^2 LC}$ प्राप्त होता है, जो अंततः $\gamma = j\omega\sqrt{LC}$ में बदल जाता है। इस स्थिति में, वास्तविक भाग (अटेनुएशन कांस्टेंट $\alpha$) शून्य होता है, और काल्पनिक भाग (फेज कांस्टेंट $\beta$) $\omega\sqrt{LC}$ के बराबर होता है।

Key Formulas: $\gamma = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}$ — प्रोपेगेशन कांस्टेंट के लिए सामान्य व्यंजक; $\gamma = j\omega\sqrt{LC}$ — लॉसलेस ट्रांसमिशन लाइन के लिए व्यंजक

Key Points: प्रोपेगेशन कांस्टेंट $\gamma$ को $\gamma = \alpha + j\beta$ के रूप में परिभाषित किया गया है।; $\alpha$ (वास्तविक भाग) प्रति इकाई लंबाई नेपर्स (Nepers) में क्षीणन (attenuation) को दर्शाता है।; $\beta$ (काल्पनिक भाग) प्रति इकाई लंबाई रेडियन में फेज शिफ्ट को दर्शाता है।; आदर्श लाइन के लिए, $\alpha = 0$ होता है, जिसका अर्थ है कि तरंग बिना ऊर्जा की हानि के आगे बढ़ती है।

Advantages: उच्च आवृत्ति पावर या संचार प्रणालियों में सिग्नल प्रसार के विश्लेषण को सरल बनाता है।; भौतिक मापदंडों (L, C) और तरंग वेग के बीच सीधा संबंध प्रदान करता है।

Disadvantages: लॉसलेस लाइन का आदर्शकरण वास्तविक दुनिया के प्रतिरोधी तापन और ढांकता हुआ (dielectric) नुकसानों को नजरअंदाज करता है।; गैर-समान लाइनों पर विचार करते समय जटिलता काफी बढ़ जाती है।

Applications: पावर सिस्टम ट्रांजिएंट विश्लेषण (यात्रा तरंगें)।; दूरसंचार ट्रांसमिशन लाइनों और वेवगाइड का डिज़ाइन।

Additional Info: प्रसार का वेग $v$, $v = \frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दिया जाता है।. विकल्प B वेग का व्युत्क्रम (inverse) है। विकल्प C और D प्रोपेगेशन कांस्टेंट के लिए आयामी रूप से असंगत हैं।

Answer: A सही है — एक लॉसलेस ट्रांसमिशन लाइन के लिए, प्रोपेगेशन कांस्टेंट पूरी तरह से काल्पनिक होता है और यह $j\omega\sqrt{LC}$ द्वारा दिया जाता है।

Exam Tip: हमेशा याद रखें कि प्रोपेगेशन कांस्टेंट की इकाइयाँ $m^{-1}$ होती हैं और यह यात्रा करने वाली तरंग के स्थानिक भिन्नता (spatial variation) से संबंधित है, जबकि प्रतिबाधा (impedance) वोल्टेज और करंट के अनुपात से संबंधित होती है।

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Option B: $j\sqrt{LC}$

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Option C: $j\sqrt{\frac{L}{C}}$

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Option D: $j\omega\sqrt{\frac{C}{L}}$

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